立方体の切断面が作図できる理由

質問

「点p1,p2,p3を通る平面」で立方体を切断した時の切断面を求める過程で、図のような補助線を引くことで点p4を求めます。確かにこれで点p4を求める事ができますが、どうしてこのような方法(補助線の引き方)で、p4の位置を求める事ができるのでしょうか？

回答No.3

moto_koukousei · ベストアンサー

下の図は参考になりますか？

お礼

切断面は三角形p1-p2-p3を含むので、p1-p2を延長した三角形p2-Q-p3も切断面に含まれるので、Q-p3上にあるp4も切断面の一部にあると言えるわけですね。
ありがとうございます。

回答No.2

info22_

立方体の一辺の長さをk(>0)とし、p1,p2,p3,p4の座標を
p1(k,a1,0), p2(k,k,a2), p3(a3,0,k), p4(a4,0,0)とおき、
直線p2p1と直線 p3p4の交点qをq(k,0,-zo) (zo>0)とする。

k/a1=(zo+a2)/zo
(k+zo)/zo=(k-a3)/(k-a4)

a4,zoについての連立方程式と見倣してa2,zoを求めると

a4=(k^3-a1k^2+a1a2a3)/(k^2-a1k+a1a2) ...(A)
zo=a1a2/(k-a1) ...(B)

∴p4((k^3-a1k^2+a1a2a3)/(k^2-a1k+a1a2), 0,0)

>どうしてこのような方法(補助線の引き方)で、p4の位置を求める事ができるのでしょうか？

2点p1,p2と立方体の一辺の長さkが分かれば図の補助線から点qの座標(k,0,-zo)が
(B)より求まります。
補助線qp3と平面z=0の交点としてp4(a4,0,0)が(A)から決まります。

お礼

ありがとうございます。参考にさせて頂きます。

回答No.1

WiredLogic

立方体の、p1,p2を含む正面に見えている正方形を含む平面をα、
p3,p4を含むその左側の正方形を含む平面をβ、
正面に見えている正方形の左上の頂点をA、
直線p1p2とp3p4の交点をBとします。

p4は、完全にどこにあるか解らない訳ではなく、
この辺の、どこかは解らないが、どこかにある、
なので、それがどこなのかを探す、というところ
までは、ハッキリしている、ということで、
大丈夫ですね？

直線p1p2は、点p1,p2が、平面α上にあるので、
直線も平面α上にあるのは、ハッキリしています。

直線p3p4も、点p4の具体的な場所はまだ解らないに
しても、点p3,p4が、平面β上にあることは、
ハッキリしているので、直線も平面β上にあります。

すると、その２つの直線の交点Bは、
平面αとβが交わる線(交線)上にないといけない
ことが解ります。

平面α,βの交線は、正面の正方形の左側の辺を
含む直線なので、点Bは、その直線上にあり、

かつ、点Bは、直線p1p2上の点でもあるので、
点Bは、平面α,βの交線と、直線p1p2との
交点として、作図できて、

点Bが作図で求まれば、直線Bp3が作図できて、
これは、直線p3p4と同じもの、
さらに、点p4が、そこにあると解っている
正方形(立方体)の辺もハッキリしているので、

点p4は、その辺と直線Bp3との交点として、
作図で求められることになります。

お礼

早速のご回答ありがとうございます。参考になりました、