xとyの相関はE[xy]で表現できるのはなぜ？

質問

数学苦手な者です。

仕事上、以下のような文章を目にしました。
数学的な表現は正確ではないと思います。

要は2つの確率変数x、yの相関を表現するときに、
なぜ、xyの期待値で表現できるのか？

というのが直感的に分からないのです。
E[xy]は共分散ではないのですよね？？

数学オンチですみません。。

x、ｙがともに、平均＝0,標準偏差=1の確率分布に従うとすると、

xとyの相関がρであるとは、
E[xy]=ρと表現されるのはどうしてなのでしょう？？

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

x、ｙがともに、平均＝0,標準偏差=1の確率分布に従うので
E[x] = E[y] = 0
V[x] = E[(x-E[x])^2] = V[y] = E[(y-E[y])^2] = 1
となります。

従って、xとyの共分散は
Cov(x,y) = E[(x-E[x])(y-E[y])] = = E[(x-0)(y-0)] = E[xy]
であり、相関係数は
ρ = Cov(x,y)/√(V[x]V[y]) = E[xy]/√(1・1) = E[xy]
となります。