この問題解ける人いませんか

質問

楕円ｘ＾2/9＋y^2=1上の点をＰ（3cosα,sinα）（０＜＝α＜＝π/2)とし、原点Ｏと点Ｐを結ぶ線分とｘ軸の正の部分のなす角をθとするとき、次の問に答えろ。
（１）線分ＯＰの長さが3/√5以上になるθの範囲を求めよ。
（２）｜αーθ｜の最大値をもとめよ。

回答No.1

151A48 · ベストアンサー

(1) OP^2=9(cosα)^2 + (sinα)^2 =1+8(cosα)^2>=9/5　より
(cosα)^2>=1/10　∴　cosα>=1/√10
cosθ＝3cosα/√（1+8(cosα)^2)
t=coaα　とおいて f(t)=3t/√（1+8t^2)　を微分すると正でf(t)は単調増加。
1/√10 <=t<=1　で1/√2<=f(t)<=1
1/√2<=cosθ<=1　なので　0<=θ<=π/4

(2) Pを通りｘ軸に垂直な直線と円x^2+y^2=9の交点をQとすると，
Q（3coaα，3sinα）なのでPQ=2sinα
△OPQで余弦定理より
cos(αーθ）＝｛9+1+8(cosα)^2-4(sinα)^2}/{2×３×√（１＋８(cosα)^2)}
これを整理してt=cosα　とすると
cos(αーθ）＝ｇ（ｔ）＝（１＋２ｔ^2)/√（1+8t^2)
これを微分して0<=t<=1で増減を調べると
√3/2<=cos(α-θ）<=1 と分かるので　0<=α-θ<=π/6
よって最大値はπ/6

*0<=α<=π/2　ではαーθ>>=0
*途中計算は入力が面倒なので略。ご自分で計算なさってみてください。間違っていたらごめんなさい。