指数を含んだ式の変形について

質問

お世話になります。
実務上の都合で、下記の式を解きたいのですが、よろしくお願いいたします。

nX+Y^n=Z

上記の式を、nについて解く方法を教えてください。
よろしくお願いいたします。

回答No.2

alice_44 · ベストアンサー

「実務上の都合」とのことなので、数学的な話には
あまり御興味が無いかもしれませんが…

nX+Y^n=Z を、少し変形します。
q=Z-nX で置き換えると Y^{(Z-q)/X}=q.
両辺の対数をとると、{(Z-q)/X}(log Y)=log q.
更に r=(q/X)(log Y) で置き換えると、
(Z/X)(log Y) - r = log( r(log Y)/X )
となり、
(log r) + r = log( (log Y)/X ) + (Z/X)(log Y)
と整理できます。
この両辺を、指数関数へ代入すると、
r・e^r = {(log Y)/X}・Y^(Z/X)　
です。

x・e^x の逆関数　…すなわち
W(x)・e^W(x) = x が恒等的に成り立つような x の関数 w(x) は、
よく知られた超越関数で、「ランベルトの W 関数」と呼ばれています。
初等関数の組み合わせで書き表すことは不可能ですが、
数値計算ソフトウェアや、↓のようなサイトでは、近似値を計算してくれます。
http://www.wolframalpha.com/input/?i=W%28x%29

W 関数を使えば、上の式は
r = W( {(log Y)/X}・Y^(Z/X) )
と解くことができ、変数変換を逆にたどれば、
n = Z/X - r/(log Y)
で n が求まります。

お礼

回答いただき、ありがとうございました。
現状は近似値としてnを0.1刻みでループを回して解いているのですが、これをもっと簡単に処理することができないかと思い、質問させていただきました。
恥ずかしながら、ご教示いただいた内容も理解し切れていないところがありますが、「初等関数の組み合わせで書き表すことは不可能」ということが分かっただけでもすっきりしました。
丁寧なご説明、感謝いたします。

回答No.5

ta20000005

時間差でしたね。昼間に繋がればもっと早く書けたんですが。

回答No.4

alice_44

おや？同じ回答が。

回答No.3

ta20000005

とりあえずx=0とかy=1とか以下の変形に差し支える場合は個別に解いておくとして。
与式より
nx+e^(nlog(y))=z
z-nx=e^(nlog(y))
(z-nx)e^(-nlog(y))=1
-log(y)((z/x)-n)e^(-nlog(y))=-log(y)/x
さて、
e^(z/x)log(y)=y^(z/x)
より
log(y)((z/x)-n)e^{log(y)((z/x)-n)}=(y^(z/x))log(y)/x
よってランベルトのW関数
y=W(x)←→x=ye^y
を用いて
log(y)((z/x)-n)=W((y^(z/x))log(y)/x)
以上より
n={zlog(y)-xW((y^(z/x))log(y))/x}/xlog(y)

もっとも、W(t)の値を求めるには一般にニュートン法
a(n+1)=a(n)-{(a(n)-te^(-a(n)))/(1+a(n))}
のa(n)に適当な近似値を初項として代入を繰り返して求める
に頼るとかしかないですけどね。

お礼

ご回答いただき、ありがとうございました。
No2様と同様に、詳細なご指導、ご説明感謝いたします。

回答No.1

f272

n[0]=0
n[k+1]=n[k]-(n[k]*X+Y^(n[k])-Z)/(X+ln(Y)*Y^(n[k]))
として
反復計算させる。
うまくいくかどうかは保証しない。

お礼

回答いただき、ありがとうございました。
マクロで解く際の参考にさせていただきます。