積分の計算について教えて下さい。

質問

∫f'(x)f(x)dx　という形の積分は簡単に解く定理があるのでしょうか？

画像を添付します。赤下線部の変形がよく分かりません。頭の1/-2はxを(1-x^2)'の形にするときに出てくるというのは分かります。

宜しくお願いします。

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回答No.2

ereserve67 · ベストアンサー

d(f(x)^2/2)=2f(x)f'(x)/2=f(x)f'(x)

なので

∫f'(x)f(x)dx=∫{d(f(x)^2/2)/dx}dx

=f(x)^2/2+C (Cは積分定数，以下省略）

です．ｔ=f(x)とおくとdt/dx=f'(x)をf'dx=dtと書いて

∫f'(x)f(x)dx=∫f(x)f'(x)dx

=∫tdt=t^2/2

=f(x)^2/2

と書くこともあります．画像の場合t=1-x^2とおくと，(1-x^2)'dx=dtで

∫(1-x^2)'(1-x^2)^{-1/2}dx=∫(1-x^2)^{-1/2}(1-x^2)'dx

=∫t^{-1/2}dt=t^{-1/2+1}/(-1/2+1)=2t^{1/2}

=2(1-x^2)^{1/2}

ということですね．

一般に∫F(f(x))f'(x)dxという形が見抜けたらt=f(x)とおいてdt=f'(x)dxから

∫F(f(x))f'(x)dx=∫F(t)dt

とします．

回答No.1

Tacosan

置換積分って知ってる?