電磁気学

質問

大学のレポートの問題なんですが

2点A(0,0,la)B(0,0,-lb)(la,lb>0)の間に直線(z軸)上に
電荷が一様な線密度λで分布しているとき、
原点からの距離ｒの距離にあるxy面内の点Pに生じる
電場Eをクーロンの法則を用いて求めよ

全然わからないので困ってます。助けてください。

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

ヒントだけ。(計算が面倒だからやりたくない、ともいう)

(0,0,z)から(0,0,z+dz)の間にある電荷λdzがPに作る電場E(z)を求めます。
(0,0,z)からPまでの距離をRとしてE(z)の大きさをRであらわします。

次に、E(z)をxy平面に平行な成分Ep(z)と垂直な成分Es(z)に分けます。E(z)とxy平面のなす角をθとすると tanθ=z/r が成り立ちますのですぐにわかるでしょう。

Rをz,rであらわし、Ep(z),Es(z)をz:-lb～laまで積分すれば得られます。

お礼

即答しただいたおかげで
レポート間に合いました。

みなさん本当にありがとうございました。

回答No.5

FT56F001

#1さんの記号を借ります。
線電荷の線素ΔzがP点に作る電界ΔEの大きさ
ΔE=Δzλ/(4πε0*R^2)
このz方向成分
ΔEz=-Δzλ/(4πε0*R^2)sinθ
このr方向成分
ΔEr=Δzλ/(4πε0*R^2)cosθ

R=r/cosθ，z=r*tanθ
dz=r*(secθ)^2dθ
θの∫区間は，arctan(-lb/r)からarctan(la/r)まで

Ez=-∫λ/(4πε0*R^2)sinθdz
=∫λ (cosθ)^2　sinθr*(secθ)^2/(4πε0*r^2)　dθ
={λ/(4πε0r)}∫sinθdθ
={λ/(4πε0r)}[-cosθ](θ=arctan(-lb/r)→arctan(la/r))
={λ/(4πε0r)}[r/sqrt(r^2+la^2)-r/sqrt(r^2+lb^2)]
={λ/(4πε0)}[1/sqrt(r^2+la^2)-1/sqrt(r^2+lb^2)]

Er=∫λ/(4πε0*R^2)cosθdz
=∫λ (cosθ)^2　cosθr*(secθ)^2/(4πε0*r^2)　dθ
={λ/(4πε0r)}∫cosθdθ
={λ/(4πε0r)}[sinθ](θ=arctan(-lb/r)→arctan(la/r))
={λ/(4πε0*r)}[la/sqrt(r^2+la^2)+lb/sqrt(r^2+lb^2)]

答え
Ez={λ/(4πε0)}[1/sqrt(r^2+la^2)-1/sqrt(r^2+lb^2)]
Er={λ/(4πε0*r)}[la/sqrt(r^2+la^2)+lb/sqrt(r^2+lb^2)]

回答No.4

FT56F001

はて，#2さんの答え，
> E (r)＝λ[la - lb]/｛（２πε_0）√｜([la - lb]ーｘ＾２ーｙ＾２）｝｜
はルート内が，長さ[la - lb]－長さ^2(ｘ＾２)で，ミスってますね。

E (r)＝λ[la - lb]/｛（２πε_0）√｜([la - lb]^2ーｘ＾２ーｙ＾２）｝｜
と修正しても，線電荷λ[C/m]×長さ(la-lb)/{ε[F/m]×長さ}で単位が[V]になり，
電界の単位[V/m]になりませんね。
la≠lbなら，z方向に対して非対称だから，電界にz方向成分も出そうだし???

じゃあオマエやってみろって? でも積分が面倒そう・・・。

回答No.3

noname#224896

【訂正】２つともｚ軸の原点よりも正方向にあると勘違いしてました．
2点A(0,0,la)B(0,0,-lb)(la,lb>0)の間に，直線(z軸)上に
電荷が一様な線密度λで分布しているとき、
原点からの距離ｒの距離にあるxy面内の点Pに生じる
電場Eをクーロンの法則を用いて求めよ

ｚ
↑
｜
A(A(0,0,la)
｜
｜
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー→ｘ
｜
B(0,0,-lb)
｜
｜

線電荷は，ｚ軸乗にしか存在しない：λ｜la＋lb｜

原点から距離ｒにおける点（ｘ，ｙ，ｚ）における電場Ｅ（ｒ）を
位置ｓにおける線電荷を考慮して，クーロンの法則より，空間的に表すと，

E (r) ＝（1/4πε_0）∫∫∫ ｛λ(s)(r－s)/| r －s|^3 ｝ d3s
という３重積分になる．

電荷の分布は，ｚ軸のla,lb>0の間に線電荷が分布するというｚ軸のみであるので，
ｚ軸のみ積分した後，距離｜｜la＋lb｜＾２ーｘ＾２ーｙ＾２ーｚ＾２｜を考慮する．
そして，ｘｙ平面のみの電場を求めれば良いので，電場のｚ成分が無くなる．
つまり，
原点から距離ｒにおける点（ｘ，ｙ，ｚ）における電場Ｅ（ｒ）は，
E (r) ＝（1/４πε_0）∫∫∫λｄｚ]/√(ｒ^2－ｚ＾２ーｘ＾２ーｙ＾２）ｄｘｄｙ

ｚ軸乗の線電荷λ｜la＋lb｜を含む適当な円筒を考えて，残りのｘ，ｙについて積分する．

E (r) ＝λ[la ＋ lb]/｛（４πε_0）∫∫]{ 1/√([la ＋ lb]＾２ーｘ＾２ーｙ＾２）} ｄｘｄｙ

ｘｙ平面のみの，点（ｘ，ｙ，０）における電場Ｅ（ｘ，ｙ，０）は，

E (ｘ，ｙ，０)＝λ[la ＋ lb]/｛（２πε_0）√｜([la ＋ lb]＾２ーｘ＾２ーｙ＾２）｝｜　．．．（解答）

回答No.2

noname#224896

2点A(0,0,la)B(0,0,-lb)(la,lb>0)の間に，直線(z軸)上に
電荷が一様な線密度λで分布しているとき、
原点からの距離ｒの距離にあるxy面内の点Pに生じる
電場Eをクーロンの法則を用いて求めよ

ｚ
↑
｜
A(A(0,0,la)
｜
B(0,0,-lb)
｜
ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー→ｘ

線電荷は，ｚ軸乗にしか存在しない：λ｜la－lb｜

原点から距離ｒにおける点（ｘ，ｙ，ｚ）における電場Ｅ（ｒ）を
位置ｓにおける線電荷を考慮して，クーロンの法則より，空間的に表すと，

E (r) ＝（1/4πε_0）∫∫∫ ｛λ(s)(r－s)/| r －s|^3 ｝ d3s
という３重積分になる．

電荷の分布は，ｚ軸のla,lb>0の間に線電荷が分布するというｚ軸のみであるので，
ｚ軸のみ積分した後，距離｜｜la-lb｜＾２ーｘ＾２ーｙ＾２ーｚ＾２｜を考慮する．
そして，ｘｙ平面のみの電場を求めれば良いので，電場のｚ成分が無くなる．
つまり，
原点から距離ｒにおける点（ｘ，ｙ，ｚ）における電場Ｅ（ｒ）は，
E (r) ＝（1/４πε_0）∫∫∫λｄｚ]/√(ｒ^2－ｚ＾２ーｘ＾２ーｙ＾２）ｄｘｄｙ

ｚ軸乗の線電荷λ｜la－lb｜を含む適当な円筒を考えて，残りのｘ，ｙについて積分する．

E (r) ＝λ[la - lb]/｛（４πε_0）∫∫]{ 1/√([la - lb]ーｘ＾２ーｙ＾２）} ｄｘｄｙ

ｘｙ平面のみの，点（ｘ，ｙ，０）における電場Ｅ（ｒ）は，

E (r)＝λ[la - lb]/｛（２πε_0）√｜([la - lb]ーｘ＾２ーｙ＾２）｝｜　．．．（解答）

となる．