数IA問題 解いてください＞＜

質問

(x^2+ 1/x^2 +2)^7を展開したときx^6の係数を求めよ

次の条件を同時に満たす⊿ABCの性質は？
sin^2A=sin^2B+sin^2C-sinBsinC
acosB=bcosA

２問それぞれ全然違うジャンルですが。。。細かく過程や式もお願いします＞＜

回答No.3

nag0720

(x^2+ 1/x^2 +2)^7=(x+1/x)^14=(x^2+1)^14/x^14
なので、(x^2+1)^14 の x^20 の係数を求めればよい。

(x^2)^10=(x^2)^10 の係数は二項定理より、14C10=1001

回答No.2

ereserve67

前半：多項定理より一般項は

{7!/(p!q!r!)}x^{2p}x^{-2q}2^r

={7!2^r/(p!q!r!)}x^{2(p-q)}

2(p-q)=6としてp-q=3

(1)p=q+3

またp+q+r=7よりr=7-p-q=7-(q+3)-q=4-2q

(2)r=2(2-q)

(1)，(2)においてp,q,rは0以上であるから

q+3≧0，q≧0，2(2-q)≧0⇔q=0,1,2

⇔(p,q,r)=(3,0,4),(4,1,2),(5,2,0)

よってx^6の係数は

7!2^4/(3!0!4!)+7!2^2/(4!1!2!)+7!2^0/(5!2!0!)

=16(7・6・5/3!)+4(7・6・5/2)+7・6/2

=560+420+21=1001

後半：sin^2A=sin^2B+sin^2C-sinBsinCにおいて，外接半径をRとすると正弦定理より

a^2/(4R^2)=b^2/(4R^2)+c^2/(4R^2)-bc/(4R^2)

(1)a^2=b^2+c^2-bc

余弦定理より

cosA=(b^2+c^2-a^2)/(2bc)=bc/(2bc)=1/2⇔A=60°（☆）

この結果をacosB=bcosAに代入して

cosB=b/(2a)

一方余弦定理より

cosB=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

∴b/(2a)=(c^2+a^2-b^2)/(2ca)

(2)bc=c^2+a^2-b^2

(1)，(2)より

bc=c^2+c^2-bc

2bc=2c^2

b=c（★）

☆と★から三角形ABCは頂角A=60°の二等辺三角形，すなわち正三角形である．

回答No.1

gohtraw

二問目
　正弦定理よりａ／ｓｉｎＡ＝ｂ／ｓｉｎＢ＝ｃ／ｓｉｎＣ＝２Ｒ　なので
ｓｉｎＡ＝ａ／２Ｒ、ｓｉｎＢ＝ｂ／２Ｒ、ｓｉｎＣ＝ｃ／２Ｒ
これらをsin^2A=sin^2B+sin^2C-sinBsinC　に代入して整理すると
ａ＾２＝ｂ＾２＋ｃ＾２－ｂｃ
これを余弦定理の式ａ＾２＝ｂ＾２＋ｃ＾２－２ｂｃｃｏｓＡ　と比較すると　ｃｏｓＡ＝１／２となり、∠Ａ＝π／３
　また、正弦定理より　ａ＝２ＲｓｉｎＡ、ｂ＝２ＲｓｉｎＢ
これらをacosB=bcosA　に代入すると
２ＲｓｉｎＡｃｏｓＢ＝２ＲｓｉｎＢｃｏｓＡ
ｃｏｓＢ／ｓｉｎＢ＝ｃｏｓＡ／ｓｉｎＡ
ｔａｎＡ＝ｔａｎＢ
となるので∠Ａ＝∠Ｃ＝π／３
よって∠Ｂ＝π／３
なので△ＡＢＣは正三角形

お礼

早速のご回答有難うございます！とてもよくわかりました＾＾