物理の問題(気体・状態変化)の解法について

質問

物理の問題(気体・状態変化)の解法について

閲覧ありがとうございます。
物理の問題について解法のご教授頂きたく質問させて貰いました。

(図は自分で書いたので見難い部分があります、申し訳ありません)

断面積Sのシリンダーの中に、シリンダーの上部分からばね定数kのばねで吊り下げられたピストンが付けられている。
ピストンとばねの質量は無視でき、またピストンはシリンダーの中で固定することができ、摩擦無しに動かすこともできるとする。
シリンダーの底面から測ったピストンまでの高さをhとする。シリンダーとピストンは断熱材でできており、それらを通して熱の出入りはない。
ピストンの下側にはモル数nの単原子分子理想気体が閉じ込められており、この気体を熱するための体積の無視できるヒーターが取り付けられている。
ピストンの上側には穴が開いており、このため圧力は大気圧P0に保たれている。

いま、上側の穴をあけたままピストンを静かに放したところ、ばねは自然長のまま、ピストンはh=Lのところで静止した。
この状態を状態[1]と呼ぶ。以下、ピストンの位置は状態[1]における位置から測った上向きの変位xで表す。
気体定数をRとして以下の問いに答えよ。ただし必要ならば単原子分子理想気体の定積モル比熱が3/2Rであることを用いよ。

(1)状態[1]における下側の気体の温度TAを、P0,L,S,R,nを用いて表せ。

(2)状態[1]でピストンを固定してヒーターで下側の気体を熱したところ、下側の気体の圧力はP1となった。
このときの気体の内部エネルギーの増加ΔU1とヒーターが気体に与えた熱量Q1を、P0,P1,L,Sを用いて表せ。

状態[1]でピストンを自由に動ける状態にしてヒーターで下側の気体を加熱したところ、
ピストンはゆっくりx=L(図中でh=2L)の位置まで上昇した。この状態を[2]と呼ぶ。

(3)ピストンの位置がx(図中でh=L+x)のとき、下側の気体の圧力Pを求めよ。

(4)状態[1]から状態[2]に変化した時、下側の気体の内部エネルギーの増加ΔU2と
ヒーターが気体に与えた熱量Q2を求めよ。

回答よろしくお願いします。
なにか不備な点があった場合は補足にて追加しますので指摘お願いします。

回答No.1

ktdg

(1)気体の状態方程式より、TA=P0SL/nR
(2)気体の絶対温度をTBとすると気体の状態方程式より、TB＝P1SL/nR
よってΔU=3nRΔT/2=3SL(P1-P0)/2
ピストンは固定されているので気体は仕事をせず、気体に加えた熱量はすべて内部エネルギーの増加分である。
∴Q1=ΔU=3SL(P1-P0)/2
(3)バネがピストンを押す力はkxだから、P=P0+kx/S
(4)シリンダー内の圧力はP=P0+kL/Sだから、気体の絶対温度をT2とすると気体の状態方程式より、T2=2L(P0S+kL)/nR
よってΔU2=3nRΔT/2=3L(P0S+2kL)/2
また、気体がした仕事は、P0SL+(kL^2)/2だから、Q=ΔU+(気体が外にした仕事)=(5P0SL+7kL^2)/2