解き方を教えて下さい。

質問

円周上にｎ個の点 Ｐ₁,Ｐ₂,Ｐ₃,.......Ｐ nがあり、これらを結ぶ異なる2本の 弦を考える。 ただし、ｎ≧４とする。1つの端点を 共有する2本の弦の組の個数をan，共 有点のない2本の弦の組の個数をbnと するとき、an=bnとなるのはn=□の ときである。

答え＊９

アルファベットの文字ENTRANCEが1文字ずつ書かれたカードが8枚ある。これらのカードから6枚取り出して1列に並べる方法は全部で何通りか。

答え＊5400

回答No.4

yyssaa

ANo.1です。再回答します。前回回答は間違いがあるので、
無視して下さい。ご迷惑をおかけしました。

円周上にｎ個の点 Ｐ₁,Ｐ₂,Ｐ₃,.......Ｐ nがあり、これらを結ぶ異なる2本の 弦を考える。 ただし、ｎ≧４とする。
1つの端点を 共有する2本の弦の組の個数をan，
共有点のない2本の弦の組の個数をbnと するとき、
an=bnとなるのはn=□の ときである。
＞
1つの端点を共有する2本の弦の組の個数anは、
例えばP1を通る弦は全部でP1-P2,P1-P3,・・・P1-Pnの(n-1)本
なので、その中から2本を選ぶ選び方は(n-1C2)組、P1～Pnまで
でn倍、すなわちan=n*(n-1C2)=n(n-1)(n-2)/2
共有点のない2本の弦の組の個数は、弦の組の全数から共有点を
もつ弦の組の総数を引いて求める。anが分かったので、円周上
以外で共有点をもつ弦の組の数cnを計算する。
例えば弦P1-P3であればP2-P4,P2-P5,・・・,P2-Pnの(n-3)本の弦と
共有点をもつので、P1-P3と共有点をもつ弦の組は(n-3)組。
また弦P1-P4であればP2-P5,P2-P6,・・・,P2-Pnの(n-4)本の弦と
P3-P5,P3-P6,・・・,P3-Pnの(n-4)本の弦の合計2*(n-4)本の弦と
共有点をもつので、P1-P4と共有点をもつ弦の組は2*(n-4)組。
一般化してP1-Pm(3≦m≦n-1)と共有点をもつ弦の組の数は
(m-2)*(n-m)組となる。よってP1を通る弦と端点以外の共有点
をもつ弦の組の総数は∑(m=3→n-1){(m-2)*(n-m)}
=(n+2)∑(m=3→n-1)m-∑(m=3→n-1)(m^2)-2n(n-3)
=(1/2)(n-3)(n+2)^2-{(n-1)(n)(2n-1)-30}/6-2n(n-3)
=[3(n-3)(n+2)^2-{(n-1)(n)(2n-1)-30}-12n(n-3)]/6
=[(n-3)(3n^2+12)-2n^3+3n^2-n+30]/6
=(n^3+11n-6n^2-6)/6=(n-1)(n-2)(n-3)/6
これをn倍すると弦の1組を4回重複して計算することになるので、
端点以外の共有点をもつ弦の組の数cnは
cn=n(n-1)(n-2)(n-3)/24になる。
Ｐ₁,Ｐ₂,Ｐ₃,.......Ｐ nの全部の弦の本数はnC2本。これらから
2本ずつの組を作ると(nC2)C2組が出来るのでbn=(nC2)C2-an-cn。
(nC2)C2を計算するとnC2=n!/{2!(n-2)!}=n(n-1)/2=(n^2-n)/2
(nC2)C2={(n^2-n)/2}C2={(n^2-n)/2}!/[2!{(n^2-n-4)/2}!]
=(n^2-n)(n^2-n-2)/8=n(n-1)(n+1)(n-2)/8
よって bn={n(n-1)(n+1)(n-2)/8}-{n(n-1)(n-2)/2}
-{n(n-1)(n-2)(n-3)/24}
=(n-1)(n-2){3n(n+1)-12n-n(n-3)}/24=n(n-1)(n-2)(n-3)/12
an=bnからn(n-1)(n-2)/2=n(n-1)(n-2)(n-3)/12
これを解いてn=9・・・答え
アルファベットの文字ENTRANCEが1文字ずつ書かれたカードが8枚ある。これらのカードから6枚取り出して1列に並べる方法は全部で何通りか。
＞
EとNが2枚ずつあるのでE1,E2,N1,N2と区別して考えると、
EEとTRANCのうちの4文字を組み合わせた6文字、例えばEETRANの
1列の並べ方6!通りの中には、例えばE1E2TRANとE2E1TRANが含ま
れており、この二つは同じ並びなので、このEETRAN6文字の1列の
並べ方は(6!×1/2)通りになる。
同じくNNTRACの並べ方も(6!×1/2)通り。
こうなる文字の組合せは、EEとNTRACうちの4文字を組み合わせた
6文字の場合(5C4通り)と、NNとETRACうちの4文字を組み合わせた
6文字の場合(5C4通り)であり、6文字の中に同一文字の組EE又は
NNのどちらかだけを含む組合せ(5C4)×2=10通りの文字の並べ方
は10*6!/2=3600通りになる。
次にEENNとTRACのうちの2文字を組み合わせた6文字、例えば
EENNTRの1列の並べ方6!通りの中には、例えばE1E2N1N2TR、
E2E1N1N2TR、E1E2N2N1TR、E2E1N2N1TRが含まれており、この四つ
は同じ並びなので、このEENNTR6文字の1列の並べ方は(6!×1/4)
通りになる。EENNとTRACのうちの2文字の組合せは4C2=6通りある
ので、EENNを含む6文字の並べ方は6*6!/4=1080通りになる。
残りはEもNも重複しない6文字ENTRACの並べ方であり、これは
6!=720通りなので、以上を合計してENTRANCEから6文字を選んで
横1列に並べる並べ方は、3600+1080+720=5400通り・・・答え

回答No.3

nag0720

１つめの問題は答が間違っています。

1つの端点を共有する2本の弦の組の数は、1点を共有する弦の数はn-1本あるから、
(n-1)C2×n
共有点のない2本の弦の組の数は、4点で作られる2組の弦の組み合わせは3通りあるから、
nC4×3
よって、
n(n-1)(n-2)/2=n(n-1)(n-2)(n-3)/8
より、n=7

２つめの問題は5400で合っています。

EN以外を○であらわせば、6枚の選び方と並べ方の数は、
EENN○○　　4C2×6!/4
EEN○○○　　4C3×6!/2
ENN○○○　　4C3×6!/2
EE○○○○　　4C4×6!/2
NN○○○○　　4C4×6!/2
EN○○○○　　4C4×6!

計　6!×(3/2+2+2+1/2+1/2+1)=720×15/2=5400

回答No.2

aoringo426

ＥＮＴＲＡＮＣＥの問題は比較的取り組みやすいって思います。答えは5400ではなくて5040と思います。
８文字がすべて異なるならば8Ｐ6=20160ありますがＥとＮが２つずつあるから４で割ることになると思います。で5040になります。

回答No.1

yyssaa

円周上にｎ個の点 Ｐ₁,Ｐ₂,Ｐ₃,.......Ｐ nがあり、これらを結ぶ異なる2本の 弦を考える。
ただし、ｎ≧４とする。1つの端点を 共有する2本の弦の組の個数をan，
共 有点のない2本の弦の組の個数をbnと
するとき、an=bnとなるのはn=□の ときである。
＞1つの端点を共有する2本の弦の組の個数anは、
例えばP1を通る弦は全部でP1-P2,P1-P3,・・・P1-Pnの(n-1)本なので、
その中から2本を選ぶ選び方(n-1C2)組のn倍、すなわちan=n*(n-1C2)。
Ｐ₁,Ｐ₂,Ｐ₃,.......Ｐ nの全部の弦の本数はnC2本。これらから2本
ずつの組を作ると(nC2)C2組が出来るので、bn=(nC2)C2-an。
よってan=bnとなるのはbn+an=2an=2n*(n-1C2)=(nC2)C2。これを計算
すると、2n(n-1C2)=2n(n-1)!/{2!(n-3)!}=n(n-1)(n-2)・・・(ア)
nC2=n!/{2!(n-2)!}=n(n-1)/2=(n^2-n)/2
(nC2)C2={(n^2-n)/2}C2={(n^2-n)/2}!/{2!({(n^2-n)/2}-2)!}
={(n^2-n)/2}{(n^2-n)/2-1}/2={(n^2-n)/2}{(n^2-n-2)/2}/2
=(n^2-n)(n^2-n-2)/8・・・(イ)
(ア)=(イ)、n(n-1)(n-2)=(n^2-n)(n^2-n-2)/8
8(n-2)=n^2-n-2、n^2-9n+14=0、(n-2)(n-7)=0、n≧4なので
n=7・・・答え
アルファベットの文字ENTRANCEが1文字ずつ書かれたカードが8枚ある。
これらのカードから6枚取り出して1列に並べる方法は全部で何通りか。
＞EとNが2文字ずつあるので、E1、E2、N1、N2と区別してE1E2N1N2TRAC
から6枚を取り出す取り出し方は8C6=28通りあるが、例えばE1N1TRACと
E2N2TRACは同じなので、6枚の取り出し方は28/4=7通りになる。
6文字を1列に並べる方法は6!=720通りなので、求める答えは
720*7=5040通り・・・答え