一般常識 数学

質問

11月10日に看護専門学校の社会人の試験があります。以前に過去問(答えなし)を貰ったのですが答えがないので英国社理は自分で調べたものの私は数学が全くできません。数学はもういいやと諦めていたのですが今更になって焦りを感じています。周りに聞ける人もいないのでどうか教えてください。本当に数学だけは出来ないのです…自分なりに調べましたがさっぱりでした。
その他小論文、面接があります。気を付けることなどあればよろしくお願いします。

1、 傾きが－2で、放物線y＝x2＋6x＋8の頂点を通る直線の方程式を求めよ。

2、 円を4等分して異なる4色で塗り分けるとき、何通りの塗り方がありか。ただし、回転して同じ配列になるものは1通りとする。

3、 2次不等式x2－6x－7＜0を解け。

4、 1から100までの整数のうち、3の倍数でも5の倍数でもない数はいくつあるか。

5、 A君は180gの水に20gの食塩をいれて食塩水をつくった。B君もA君と同じ濃度の食塩水を300gつくりたい。何gの食塩が必要か。

回答No.7

ORUKA1951

テクニックだけ・・
★放物線y＝x2＋6x＋8の頂点を
　これは、本来は平方完成でy-a=(ax-c)²の形--y=ax²から頂点がどれだけずれているを計算するのですが、テスト対策としてそれが難しいなと思ったときは、微分しちゃいます。
　y'=2x + 6　　　乗数を前に降ろして乗数をひとつ減らす
　0=2x + 6　傾きが０になる点
　2x = -6
　x = -3
　これを元の式、y = x²＋6x＋8に代入すると
　(-3)² + 6(-3) + 8 = 9 - 18 + 8 = -1
　よって頂点は(-3,-1)
　直線の方程式は、y = ax + b ですから、傾き-2なら、y = -2x + bです。これが、点(-3,-1)を通るのですから
　-1 = -2(-3) + b
　b = -7
よって、y = -2x + 7

2、 円を4等分して異なる4色で塗り分けるとき、何通りの塗り方がありか。ただし、回転して同じ配列になるものは1通りとする。
　赤・青・黄・緑としてます、◔右上だけを赤としてみます。その下には残り三色のうちのひとつが入ります。さらに残った左下には残りの二色のうちのひとつが入ります。最後の色は自動的に決まります。
　これは最初の色を赤以外にしたときも、同様に成り立ちますが回転させてしまうと同じものができてしまいます。
　次の色の決め方３通り×さらに２通り・・
　3 × 2 × 1 = 6(通り) = 3!
　　これが円でなければ、最初の色の決め方が4通りありますから、4! = 24通り

3、 2次不等式x2－6x－7＜0を解け。
　x²の係数が正ですから、下に凸な放物線ですから、この放物線がx軸と交差(y=0)のときの間ですから
　x² - 6x - 7 = y とおいて
　(x - 7)(x + 1)　かけて-7 足して -6 になる。
　この式から、いずれかの()内が０だとyは0になるので、()内が0になるのはx=7とx=-1
　因数分解が苦手なら、根の方程式
　　x= -b±√(b² - 4ac)/2a　で解いても良い

4、 1から100までの整数のうち、3の倍数でも5の倍数でもない数はいくつあるか。
　100/3 = 33.****
　100/5 = 20.***
　　両方で割れる数(除数に15を含むもの)まで数えてしまっているので、一方からそれを引きます。
　33 + (20 - 6) が3または5で割れる数のすべてですから、それ以外は
　100 - {33 + (20 - 6)}

5、 A君は180gの水に20gの食塩をいれて食塩水をつくった。B君もA君と同じ濃度の食塩水を300gつくりたい。何gの食塩が必要か。
　絵を描いてみましょう。
　A君の水溶液(180 + 20)g です。足したら 200gでその中に20gの食塩、比は200:20 すなわち、1/10が食塩です。300gなら30g

根の方程式--因数分解が苦手なら、機械的に解けるので覚えておくこと
二次方程式の頂点、やはり因数分解に近い平方完成、苦手なら微分を使う。

のこりはクイズみたいなものです。

回答No.6

kamikami30

No4です

大変失礼しました。
修正です。

y=x^2+6x+9-9+8
y=(x+3)^2-9+8
y=(x+3)^2-1

となります。

なぜか符号が逆転していました。

よって頂点の座標は

(-3,-1) となり

求める方程式は
y = -2x - 7
となります。

回答No.5

asuncion

＞傾き2の直線をy = 2x + bとする。これが(-3, -1)を通るから、
＞-1 = -6 + b
＞b = 5
＞∴y = 2x + 5

間違えちゃいました。
傾き-2の直線をy = -2x + bとする。これが(-3, -1)を通るから、
-1 = 6 + b
b = -7
∴y = -2x - 7

回答No.4

kamikami30

内容的には高校文系レベルのようですね。

この問題の解答を書くだけなら簡単そうですが、

実際の試験の役に立つかどうかは…

一応関係する単元と解法のポイントを昔の記憶の範囲内で書いてみます。

1. 二次方程式と一次方程式の応用

y＝x^2＋6x＋8を平方完成する。

/* こういうのコメント範囲開始
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
というのが公式で
右辺の形を無理矢理作る
公式と問題の式を比較すると
aはx
2abが6xだからbは3
b^2が該当ない
ないものは作る
足して引いても何もしていないのと同じ
だから
こういうのコメント範囲終了 */

y=x^2+6x+9-9+8
y=(x-3)^2-9+8
y=(x-3)^2-1

/*
y=(x-a)^2+bの頂点の座標は
(-a,b)となるから

*/

頂点の座標は

(3,-1)

直線の方程式は
y=ax+b

と表され
問題よりaが-2

頂点を通るから

xが3
yが-1

よって
-1=-2×3+b

6b=-1

b=-1/6

a,bがわかったから

求める方程式は

y=-2x-1/6

という感じになります。

スマホで解答思ったより大変でした。

他のはまた時間があったら。

回答No.3

suko22

11月10日ってもうすぐですね。
お力になれるかどうかはわかりませんが、、、回答します。

(1)ｙ＝a(x-p)^2+aと変形したとき、この放物線の頂点の座標は(p,q)となります。

ｙ＝ｘ＾2+6ｘ+8をこの形に変形します。（式変形は「平方完成」で調べてみてください）
　＝（ｘ+3）＾2-9+8
　＝（ｘ+3）＾2-1
これより、頂点の座標が(-3,-1)であることがわかります。

直線の方程式はｙ＝ax+bと表せます。（aが傾きでbがｙ切片）
今、傾きが-2とわかっているので求める直線の式をｙ＝-2ｘ+ｂとおくことができます。
これが(-3,-1)を通るので、ｘ＝-3、ｙ＝-1を代入すると、
-1＝6+ｂ
ｂ＝-7
∴ｙ＝-2ｘ-7

※放物線と直線は式の形が決まっています。

(2)円順列と呼ばれるものです。（4-1）！＝3！＝3*2*1＝6通り。
※順列または円順列で調べてみてください。これくらいならすべて書き出してもいいかな？とも思います。

(3)ｘ＾2-6ｘ-7＜0
　（ｘ+1）（ｘ-7）＜0
　-1＜ｘ＜7
よくわからなくても、2次不等式の公式を覚えておくだけこの問題はなんとかなります。

(4)1から100までの整数はすべてで100個
　1から100までの整数で3の倍数の個数は、100÷3＝33余り1より33個
　1から100までの整数で5の倍数に個数は、100÷5＝20より20個
　1から100までの整数で15の倍数（3と5の最小公倍数）の個数は、100÷15＝6余り10より6個

　3の倍数の中には15の倍数が含まれる。同じく5の倍数の中には15の倍数も含まれる。これを考慮に入れて3の倍数でもなく5の倍数でもない数の個数を数えると、
　100-33-20+6＝53個

※倍数の個数で検索するといろいろ出てきます。できれば解きたい問題ですね。

(5)Ａ君の食塩水の濃度＝Ｂ君の食塩水の濃度
　Ｂ君はｘｇの食塩が必要だとすると、
　｛20/（180+20）｝*100＝（ｘ/300）*100
　20/200＝ｘ/300
　1/10＝ｘ/300
　10ｘ＝300
　ｘ＝30ｇ

※溶液の濃度（％）＝（溶質の質量/溶液の質量）×100
食塩水は食塩と水からなっています。食塩は溶質、水は溶媒、食塩水を溶液と分類できます。濃度計算は上の公式です。

回答No.2

PC98

x2は正しくはｘ＾2となりますからご注意を。

（1）y=x^2+6x+8=(x+3)^2-1
よって放物線の頂点は(-3,1)
傾きが-2でこの点を通るので
ｙ切片をｂとおくと
1=(-2)*(-3)+b=6+bよりｂ＝-5
よってｙ=-2x-5

（2）円順列
　一般に、円をn等分した色の分け方は(n-1)！通り
（ここで、n!はｎの階乗で、1～ｎまでをかけていく）

よって（4-1）！＝3！＝6通り

（3）因数分解するだけ
x^2-6x-7=(x-7)(x+1)<0
あとはグラフを書いてください。見れば分かるので。
よって-1<x<7

（4）ひとつの考え方として。
A君は180+20＝200ｇの食塩水を作ったので、
同じ濃度で300ｇ＝1.5倍の量の食塩水を作りたいなら、
全量を1.5倍すればよい。
270+30＝300、よって30ｇ

専門学校といえど社会人入試とのことですので、
試験全般で社会人としての常識や知識、振る舞いが求められるかと思います。
推薦入試みたいのもしてないので面接・小論文とも不明ですが、
「教養のある大人」をみせればよいのではないでしょうか？
あとやる気も。

回答No.1

asuncion

設問1
y = x^2 + 6x + 8
=x^2 + 6x + 9 - 9 + 8
=(x + 3)^2 - 1
頂点の座標は(-3, -1)
傾き2の直線をy = 2x + bとする。これが(-3, -1)を通るから、
-1 = -6 + b
b = 5
∴y = 2x + 5

設問2
円ではない場合、異なる4色で塗り分ける場合の数 = 4! = 24とおりある。
一方、円の場合、ABCD、BCDA、CDAB、DABCは、回転すれば同じ順序になるので同一とみなせる。
よって、4!/4 = 6とおり
円順列の問題であるから、いきなり(4-1)! = 6とおりとしてもよい。

設問3
x^2 - 6x - 7 < 0
(x + 1)(x - 7) < 0
∴-1 < x < 7

設問4
3の倍数の個数=33個
5の倍数の個数=20個
これらの合計である53個の中には、「3の倍数かつ5の倍数、つまり15の倍数」も
含んでいるので、それを除外しなければならない。その個数=6個
よって、3の倍数または5の倍数の個数=33 + 20 - 6 = 47個
求める個数は、100 - 47 = 53個

設問5
A君が作った食塩水の濃度=20/(180+20)=20/200=0.1=10%
B君も10%の食塩水を作りたい。ただし、量は300g。
このとき必要な食塩の量=300×0.1=30g

補足

丁寧にありがとうございます！！

設問2、4、5は理解できました！感謝します。

設問1で9はどこから来たのでしょうか？

設問3で(x＋1)(x－7)は因数分解だと思うのですが因数分解がいまいちわかりません。どうすればこうなるのでしょうか？

初歩的な質問で申し訳ないです。