関数の連続調査

質問

f(x,y)=1/(x^2+y^2)　　((x,y)≠(0,0)のとき)
　　　　0 ((x,y)＝(0,0)のとき)

で定義される関数f(x,y)が次の点で連続であるかどうかを調べよ

点(1,2)

解説をよろしくお願いします

回答No.1

ereserve67

f(1,2)=1/(1^2+2^2)=1/5

一方，(x,y)→(1,2)のとき(x,y)≠(0,0)であるから，

f(x,y)=1/(x^2+y^2)→1/(1^2+2^2)=1/5

よって連続です．

※後者の極限計算はほぼ明らかですが，念のためx=1+rcost,y=2+rsintとおくときr→+0．

x^2+y^2=(1+rcost)^2+(2+rsint)^2
=1+2rcost+r^2cos^2t+4+4rsint+r^2sin^2t
=5+r(2cost+4sint)+r^2
→5(r→+0)

補足

関数に座標そのまま代入した値と、座標の極限を取った値を比べるってことですか？
やってることは同じではないのですか？

追加で質問いいですか？

(0,0)のときはどうなりますか

x=rcosθ、y=rsinθとおくと1/r^2でr→0の極限計算が出来ないんですが…