CR直列回路の電流の解き方を教えてください

質問

CR直列回路に、立ち上がり時間trの電源を繋いだときの微分方程式と電流の方程式を教えてください。

立ち上がり時間が0sのときの場合は簡単に解けるのですが、有限の立ち上がり時間を考慮した場合はどのようにしたらいいのでしょうか。

宜しくお願い致します。

回答No.3

178-tall · ベストアンサー

試行例。

　Q' + Q/(RC) = V(t)/R　　　　…(*)
からスタート。
RC = τとして、
　Q = C(t)*e^(-t/τ)
とおくと、
　Q' = C'(t)*e^(-t/τ) - {C(t)/τ}*e^(-t/τ)
なので (*) は、
　C'(t)*e^(-t/τ) - {C(t)/τ}*e^(-t/τ) + {C(t)/τ}*e^(-t/τ)
　= C'(t)*e^(-t/τ) = V(t)/R
つまり、
　C'(t) = e^(t/τ)*V(t)/R

時間 d で V まで直線的に立ち上がる部分を V(t) = (t/d)V とすれば、
　C(t) = K + (1/R)∫e^(t/τ)*V(t) dt
　= K + {Vτ/(dR)}(t - τ)*e^(t/τ)
だから、初期値 Q(0) = 0 として、
　Q(t) = (CV/d)[τ{e^(-t/τ)-1} + t ]

t=d よりもあとは、Q(d) までチャージされたあとのステップ応答として扱えるので、省略。
スプレッドシート上に組んで、d と τの大小関係を変えてみると、けっこう楽しめる。

お礼

理解できました。
有難う御座いました。
お礼が遅くなり申し訳御座いません。

回答No.2

178-tall

>算式の中の、k　について教えて戴けないでしょうか。-1/CRのことでしょうか

「立ち上がり時間が 0s のときの場合」はどのようにして解かれましたか？
「定数変化法」を使われたと、勝手に憶測してました。

「定数変化法」だと、
　Q' + k*Q = e(t)　　　　…(#)
　　k = 1/(RC), e(t) = E(t)/R
にて、
　Q = C(t)*e^(-kt)　　　…(##)
とおいて、
　C(t) = C + ∫e^(kt)*e(t) dt　　　…(###)
を求めますね。

e(t) が一次多項式なら、算式
　∫t*e^(kt) dt = (t/k - 1/k^2)*e^(kt) + C
が利用可というつもりなので、k = 1/(CR) に相当すると思います。

>最後のCはコンスタントと考えて宜しいでしょうか

(###) の C とダブってますね。おっしゃるとおり任意定数です。

かなり大雑把なシナリオなので、精査ねがいます。

お礼

よく理解できました。
有難う御座いました。
お礼が遅くなり申し訳御座いません。

回答No.1

178-tall

立ち上がり波形の想定に悩むところですね。
「係数変化法」とやらで勘定するのなら、多項式近似すれば積分は楽。

たとえば、一次近似、
　0 < t < tr にて E(t) = (Em/tr)*t
　tr≦t < にて E(t) = Em
で「立ち上がり時間」の影響をザックリと眺める、というのはいかが？

算式、
　∫t*e^(kt) dt = (t/k - 1/k^2)*e^(kt) + C
を使えそうなので…。

お礼

こちらも
有難う御座いました。

補足

早々の回答、有難う御座います！
算式の中の、k　について教えて戴けないでしょうか。
-1/CRのことでしょうか
最後のCはコンスタントと考えて宜しいでしょうか
的外れなことを聞いていましたらお許しください。