運動方程式の導出で困っているので教えてくれませんか

質問

d↑i'/dt=↑ω×↑i'=‥‥
などと下の3式が出てくるのはなぜか説明していただけませんか。
(1)ωとΩはそれぞれ何を表しているのでしょうか。
(2)また、d↑i'/dt=↑ω×↑i'となるのはなぜですか。
(3)なぜ行列式が出てきてこのような表現になるのですか？
(4)d↑i'/dtというのはどういうことを表現しているのですか？

質問が多いですが教えてくださると幸いです。
拡大画像↓
http://kie.nu/uF8

回答No.3

ereserve67 · ベストアンサー

Ωは定数と仮定します．

(1)XYZ系で↑ω=(0,0,Ω)=Ω↑k'（つまりΩは↑ωのZ成分であり，大きさでもあります）

(2)XYZ系はxyz系に対し角速度↑ωで回転運動する運動座標系です．任意のベクトル↑aに対して公式

d↑a/dt=d*↑a/dt+↑ω×↑a

があります．ここで

↑a=a_x↑i+a_y↑j+a_z↑k=a_X↑i'+a_Y↑j'+a_Z↑k'

とするとき，

d*↑a/dt=(da_X/dt)↑i'+(da_Y/dt)↑i'+(da_Z/dt)↑k'

は運動座標系XYZからみた↑aの時間変化です．↑a=↑i=↑i'+0↑j'+0↑k'とすると，これはXYZ系での定点X=1,Y=Z=0を表しますから当然d*↑a/dt=↑0です．すなわち

d*↑i'/dt=(d1/dt)↑i'+(d0/dt)↑i'+(d0/dt)↑k'=↑0

したがって

d↑i'/dt=↑ω×↑i'

となります．

(3)これは外積を直角座標系の成分で表すための便宜的な表現です．第1行に関して展開しなさいという意味です．

(4)(2)でも示した通り，回転座標系XYZにおける点(1,0,0)を静止座標系xyzでみるとこの点が時間的に変化しているということを表します．↑i'を静止座標系xyzの成分で

↑i'=x↑i+y↑j+z↑k

とかくと(1)で示したように↑ω=Ω↑k'=Ω↑k(↑k'=↑kに注意，今の場合Z軸はそのままz軸)ですから，

d↑i'/dt=(dx/dt)↑i+(dy/dt)↑j+(dz/dt)↑k

↑ω×↑i'=Ω↑k×(x↑i+y↑j+z↑k)=Ω{x(↑k×↑i)+y(↑k×↑j)+z(↑k×↑k)}=Ω(x↑j-y↑i)

∴(dx/dt)↑i+(dy/dt)↑j+(dz/dt)↑k=Ω(x↑j-y↑i)

⇔dx/dt=-Ωy,dy/dt=Ωx,dz/dt=0

⇔d(x+iy)=iΩ(x+iy),z=z(0)（定数)

ここにiは虚数単位です．複素数x+iyは第1式からx+iy={x(0)+iy(0)}e^{iΩt}です．

x(0)=1,y(0)=z(0)=0

ですから，x+iy=e^{iΩt},z=0すわなち

↑i'=cosΩt↑i+sinΩt↑ｊ=(cosΩt,sinΩt)(xyz系から）

つまり，静止座標xyz系から運動座標XYZ系のX方向の基本ベクトルをみると，角速度Ωでz=Z軸の周りを回転していることがわかります．

※http://www.sp.u-tokai.ac.jp/~yasue/ffn/riki-12.pdf

回答No.4

hitokotonusi

＞なぜこの粒子の運動方程式ではコリオリ力と遠心力の項が出てくるのでしょうか？

この式の右辺は，木星と一緒に回転する座標系で記述した加速度の式だからです．

＞どうしてコリオリ力や遠心力の項と言えるのかわかりません。

詳細は省きますが，遠心力は-mω↑×(ω↑×r↑) (平面運動ではmω^2 r↑)，コリオリの力は-2 m ω↑×v'↑なので，角速度と(回転系の)速度の積になっているのがコリオリ項，角速度の2乗になっているのが遠心力項です．

＞第１，２，３項は何を表現している項なのでしょうか？

そのまま回転している座標系から見た加速度です．

質問されている式は，左辺のdV/dtが静止した座標系から見た加速度で，

(静止系の加速度)＝(回転系の加速度)＋(コリオリ項)＋(遠心力項)

という式です．

回答No.2

hitokotonusi

(1)
ω↑は角速度ベクトル。回転軸の方向を向き、大きさが角速度のベクトルです。
質問の図ではk↑ベクトルの方向(ｚ軸)を向いた大きさがΩのベクトルで、
z軸回りに角速度Ωで回転している事を意味します。

(2)(4)
i'は図のx(小文字)方向の単位ベクトルで、木星の運動とともに中心星まわりに角速度Ωで回転しているということのようですね。i'が時間変化するのでi'の時間微分も必要になります。

(3)
外積の計算方法の一つです
http://kagennotuki.sakura.ne.jp/la/node16.html

補足

回答ありがとうございます。なんとなくわかった気がします。

http://oshiete.goo.ne.jp/qa/7760279.html
の質問を締め切ってしまったのですが、なぜこの粒子の運動方程式ではコリオリ力と遠心力の項が出てくるのでしょうか？本当に物理が苦手なのでよくわかりません。どうしてコリオリ力や遠心力の項と言えるのかわかりません。
また、第４，５項がコリオリ力で第６,７項が遠心力なのだとしたら、第１，２，３項は何を表現している項なのでしょうか？

回答No.1

中村 拓男（@tknakamuri）

まず, X, Y, Z 座標は中心星を原点に据えた普通のデカルト座標
x, y, z 座標は中心星を原点に、木星を x軸上に固定した
回転座標です。

木星の交点面は XY 平面と一致していて、角速度Ωで回っているようですね。

(1) ω=(0, 0, Ω) は X, Y, Z座標で表した木星の角速度です。

(2) i', j', k' は木星の方向(単位ベクトル)をデカルト座標で表しています。
　　これは回転座標の基準となる3軸で、i'は木星の動径方向、j' は木星の進行方向、
　　k' は公転面に垂直な方向です。
ベクトル a が原点に対してωで回転すると da/dt = ω x a
ですから、di'/dt = ω x i' です。

(3) 外積を計算しているだけです。計算に座標系のひねりがありますが、
線形代数か物理数学の公式をあたってみてください。
　　求めているのはデカルト座標(X, Y, Z)での値です。

(4) X, Y, Z 座標における回転座標の3軸の方向の変化率です。