物体を真上に打ち上げたときの到達高さ等について

質問

直径11mm、質量5.5gの鉄球（パチンコ玉）をスリングショットで（ほぼ）真上に打ち上げたところ、約7秒後に地面に落下しました。
このときの、下記のことについて計算で数値を出すことができますでしょうか？

１　パチンコ玉が打ち上げられた高さ
２　打ち上げ時の初速度と、地面に落下した瞬間の速度
３　同じ強さで高さ1.5メートルのところから斜め45度と水平にパチンコ玉を発射したとき、それぞれ何メートル飛ぶか
４　３の水平に発射したとき、10メートル先では高さ何メートルのところを通過するか（10メートル進む間に何センチ落ちるか）

・空気抵抗はあるもの（平野部なので海抜0メートル程度の気圧と考えていいと思います。）として計算してください。
・１、２の打ち上げは高さ2メートルのところから行い、0メートルのところへ落下したものとして計算してください。

厳密な数値が必要ではないので、その他のパラメータが必要な場合は、日本（東京付近の緯度経度）のごく普通の平野部でごく普通のパチンコ玉を真上に打ち上げたものとして計算していただければ結構です。

回答No.2

NemurinekoNya · ベストアンサー

計算を出来るかどうかといえば、
コンピュータを使って数値計算をするのであれば、まぁ、できますかね。

でも、
質問者さんが考えているような簡単な計算ではないですよ。

空気抵抗がないときの初速V0は、
　V0 = 9.8×(7/2) = 34.3m/s
で、この時のレイノルズ数Re
　Re = 34.3×11×10^(-3)/(1.5×10^(-6)) ≒ 25万
になるんで、この時のパチンコまわりの空気の流れは乱流になっちまうんですよ。
ですから、
　乱流→乱流から層流への遷移流→層流
　層流→乱流から層流への遷移流→乱流
という計算をしなければならなくなってしまう。
この計算はちょっと大変なんですよ。

でもまぁ、球の効力係数CDの近似式
　CD = 24/Re + 6/(1+√Re) + 0.4
という式を使って、
上昇中の運動方程式
　mdv/dt = -mg - CD・(1/2)ρv^2×(πd^2/4)
降下中の運動方程式
　mdv/dt = -mg + CD・(1/2)ρv^2×(πd^2/4)
を、コンピュータを使って数値的に解かせれば、解けないことはないかな。
ちなみにdはパチンコ玉の直径で、ρは空気の密度です。

でも、これは初速が与えられていない問題なので、これを解くのは結構大変ですよ。
───落下時間ではなく、初速が与えられているのであれば、解くのはかなり楽になる。逆の問題は、一般的に、解くのは非常に難しい。特にコンピュータで数値的に解かせる場合は・・・。
解析解が求まるのであれば楽だけれど、たぶん、解析解は求まらない気が・・・───

ですから、
NO1さんのおっしゃるように、ここでする質問ではないのかもしれないですね。

お礼

回答ありがとうございます。

…正直、回答を読んでもよく分かりませんでした。
分かったのは「空気抵抗を考慮に入れた計算は非常に難しい」という程度です。

質問前のイメージとしては、空気抵抗は気圧が同じであれば常時一定に掛かるもので、抵抗を考慮しない場合の計算式に一定の係数でも掛ければそれで済むものだと思っていました。

回答困難な質問にご丁寧に回答頂き、重ねてお礼申し上げます。
この質問は、これで締め切らせていただきます。

回答No.1

mpascal

空気抵抗が「あるもの」なんてことを、ここで質問しても回答は無理ですよ。

難しすぎます。