【相加・相乗平均の関係】

質問

三角形ABCは3辺の長さの和が１であり、∠Bが直角である。
AC＝ｘとおくとき、

（１）このようなｘの最小値は？

（２）三角形ABCの面積の最大値は？

答えがないので困ってます(><)
解ける方がいらっしゃいましたら、
解説お願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

＃1です。

三角形ABCの面積Ｓの最大値は？

S=ac/2=(1/2-x)/2

xが最小の時Ｓは最大すなわち

S=[1/2-(√2-1)]/2=(3/2-√2)/2

が最大値

回答No.1

spring135

BC=a, AB=cとおくと

a+c+x=1 　(1)

ピタゴラスの定理より

x^2=a^2+c^2　　(2)

(1)より

a+c=1-x

(2)より

x^2=a^2+c^2=(a+c)^2-2ac=(1-x)^2-2ac

よって

ac=1/2-x

a,cを解とする2次方程式

t^2-(1-x)t+1/2-x=0

が正の2実解を有するために

D=(1-x)^2-4(1/2-x)≧0　　　(1)

1-x≧0　　　(2)

1/2-x≧0　　　(3)

(1)より

x≧√2-1またはx≦-√2-1

x>0よりx≧√2-1

これは(2),(3)も満たす

よって

xの最小値は√2-1