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ルーレットのパラドクス
マーチン・ガードナーの本だったと思うのですが、表記のような設題がありました。（言葉は正確ではないかも知れません） 「次の３つのルーレットがある。 Ａ：必ず３点を出すもの Ｂ：４５％で５点、５５％で１点を出すもの Ｃ：２０％で６点、２０％で４点、６０％で２点を出すもの これらのうち、 （１）期待値が最大のものはどれか （２）任意の２つを競わせたとき、他の２つよりも高得点が見込めるものはどれか （３）３つを一度に競わせたとき、最高得点が出る確率が高いのはどれか」 ３つの問いの答えがすべて異なるというのがパラドクスなのですが、不思議でなりません。まんまとはめられてしまったわけです。(^^; 期待値が高いことが、高得点を取る確率の高さとならないことは分かる（１が異なることは分かる）のですが、２と３の違いが分かりません。なぜにこうなるのでしょうか。ご説明いただける方、よろしくお願いします。
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#2です。 (2)について、#1の方の回答を見て合点がいきました。 (2)と(3)の答えが違う理由ですが、比べているものが違うからです。 (3)は３つすべての中での最高得点を考えているのに対し、(2)の場合は相手より高ければ、それが最高得点でなくてもよいわけです。 例えば、AとBを競わせたとき A=3,B=5 と A=3,B=1 の２通りありますよね。ここで A>B となるのを考えると、A=3,B=1のときですね。 このとき、競わせていないCはなんでもよいわけです。 C=6や4 で最高なのがCであろうと、C=2で、最高なのがAであろうとどっちでも構わない。とにかくA>Bであればよいわけです。 ここに違いが出てくる要因があると思います。
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- hinebot
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Aの期待値 これは計算するまでもなく３点ですね。 Bの期待値 5*(45/100)+1*(55/100) = 2.8 Cの期待値 6*(20/100)+4*(20/100)+2*(60/100) = 3.2 よって、(1)の答えはCです。 さて、(2)を考えます。 ちょっと引っかかるのは「他の２つよりも」という部分なんですが、他の２つってどういう意味ですかね？ 例えば「AとBを競わせたときのA」みたいな回答の仕方ですかね？（この場合、他の２つはAとCを競わせた場合と、AとBを競わせた場合のことと解釈したんですが） あと、高得点が見込める＝高得点が出る確率が高い、なのか、高得点が見込める＝期待値が高い、なのかがあいまいな気がします。 (3)は純粋に確率ですね。 ・Aが最高得点のとき B＝１点でC=２点である必要があります。 よって、確率は (55/100)*(60/100)=33/100 ・Bが最高得点のとき Bが５点で、かつCが６点以外ならばよいわけです。 よって、確率は (45/100)*(80/100) = 36/100 ・Cが最高得点のとき Cが６点か、Cが４点でかつBが１点であればよいわけです。 よって、確率は 20/100 + (20/100)*(55/100) = 1/5 + 11/100 = 31/100 以上より、最も確率が高いのはBとなりますね。
補足
> ちょっと引っかかるのは「他の２つよりも」という部分なんですが、他の２つってどういう意味ですかね？ hinebotさんや＃１さんの解釈のとおり、「Ａは、Ｂと競ったときもＣと競ったときも」などという意味です。 > 高得点が見込める＝高得点が出る確率が高い、なのか、高得点が見込める＝期待値が高い、なのかがあいまいな気がします。 仰るとおりです。前者の「高得点が出る（勝つ）確率が高い」です。
- TK0318
- ベストアンサー率34% (1260/3650)
１ 期待値は Ａが３ Ｂが０．４５×５＋０．５５×１＝２．８ Ｃが０．２×６＋０．２×４＋０．６×２＝３．２ よってＣ ２ ＡとＢの場合５５％の確率でＡの方が高得点が見込める。 同様にＡとＣでも６０％の確率でＡの方が高得点が見込める。 よってＡ ３ Ａが最高得点になるには Ａが３、Ｂが１、Ｃが２の時のみ →３３％ Ｂが最高得点になるには Ｂが５、Ａが３、Ｃが４か２の時のみ →３６％ Ｃが最高得点になるには Ｃが６、Ａが３、Ｂが１か５の時か Ｃが４、Ａが３、Ｂが１の時 →３１％ よってＢ となりますね。
お礼
すっきりした形に整理していただいてありがとうございました。おかげさまで理解できたようです。
補足
回答ありがとうございます。ただ私の質問の仕方がよくなかったでしょうか。計算などはできたのですが、なぜ（２）と（３）が異なる結果になるのか、納得できる「説明」が欲しかったのです。変な質問で申し訳ありません。伝わりますでしょうか。
お礼
改めて回答ありがとうございます。 > (3)は３つすべての中での最高得点を考えているのに対し、(2)の場合は相手より高ければ、それが最高得点でなくてもよいわけです。 あ、確かにそうですね。(3)でカウントされてない「２位になる確率（３位より高得点の確率）」が、(2)では加えられていたんですね。 あんなに考えて分からなかったのに、教えていただくと意外にシンプルなポイントでした。すっきりしました。ありがとうございます。