台形の性質について

質問

いつもお世話になっております。もう少しだけお世話になると思います。

ちょっとしたきっかけで、台形について考察しているのですが、添付画像(図中のaとbはそれぞれ台形の底辺です)をご覧いただきまして……

画像は台形ABCDを二つの対角線で分割した様子です。三角形の面積比と、相似図形の面積比により、
△BAC:△BAD=a:b。
△BOC∽△DOAにより、△BOC:△DOA=a^2:b^2。
がそれぞれ成り立つのはよく分かるのですが、Wikiを見ますと、このとき「脚を辺にもつ二つの三角形の面積は等しく、それらの面積Sは、底辺を一辺にもつ二つの三角形の相乗平均に等しい」とありました。これが具体的でないためイマイチよく分からないのです。本当なら自分で一から証明出来ればベストなんでしょうが、その頭もなく……

この説明について
△ABC=△DBCが成り立つ事を言っているならすぐ分かりますが、実際どうなのでしょう？
平行四辺形ならば、具体的な辺の値を例にして、確かめられたのですが、台形にも言える自信がありません。因みに具体的な平行四辺形で調べた時は、先の説明に則ると、
△COD=△ABO=√(△OBC・△ODA)になるのですが、台形についてもこのように理解して大丈夫でしょうか。

お恥ずかしい限りですが、辛抱してご回答下さると有り難いです。宜しくどうぞ。

回答No.1

gohtraw · ベストアンサー

添付された図中、台形の高さをｈとすると
△ＡＯＤの面積：ｂｈ＊ｂ／（ａ＋ｂ）／２＝ｂ＾２ｈ／２（ａ＋ｂ）
△ＢＯＣの面積：ａ＾２ｈ／２（ａ＋ｂ）
△ＡＯＢの面積：ｂｈ＊ａ／（ａ＋ｂ）／２＝ａｂｈ／２（ａ＋ｂ）

ですから、△ＡＯＢの面積は△ＡＯＤの面積と△ＢＯＣの面積の相乗平均になりますね。

お礼

ご回答ありがとうございました。大変な猛者でいらっしゃいますね。自分ももっと頑張らねば、という気にさせられます。