直角に交わるx軸(横軸)、y軸(縦軸)を描き、交点を原点O(0,0)
とします。
x≧0, y≧0なので、考える範囲は第一象限(右上の1/4の部分)
であり、x軸上y軸上を含みます・・・・・(ア)。
次に3x+y≦9の範囲を知るために、y=-3x+9の直線を描きます。
点(0,9)と点(3,0)を結ぶ直線です。そして3x+y≦9の範囲は
この直線の下側です(直線上も含みます)・・・・・(イ)。
以上(ア)と(イ)から、考える範囲はここまででx軸とy軸と直線
y=-3x+9に囲まれた三角形の内部(各直線上を含む)になります。
次に最後の条件x+2y≦8の範囲を知るためにy=-(1/2)x+4の
直線を描きます。点(0,4)と点(8,0)を結ぶ直線です。そして
x+2y≦8の範囲はこの直線の下側です(直線上も含みます)・・(ウ)。
(ア)(イ)から得られた三角形の内部の(ウ)の範囲(台形のつぶれた
ような形の内部と境界線上)が最終的に考える範囲、すなわち
「x≧0, y≧0, 3x+y≦9, x+2y≦8を満たす」xとyの範囲に
なります。
そして問題は、この範囲の中のxとyで出来る2x+yの最大値および
最小値を求めるので、まず2x+y=Kとして、このKの最大値および
最小値を求めます。2x+y=Kは書き直すとy=-2x+Kとなり直線を
表します。そしてKの値はx=0のときのyの値、すなわち、この
直線がy軸を横切る点のy座標の値です。この直線の傾斜は-2で
一定ですから、上で求めたxとyの範囲(台形のつぶれたような
形の内部と境界線上)から外れないように直線を上下に動かして
みて、どの位置でKが最大になり、最小になるか見定めます。
そうすると、この直線y=-2x+Kが、先に描いた2本の直線
y=-3x+9とy=-(1/2)x+4の交点を通るときにKが最大となり、
原点O(0,0)を通るときにKが最小になることが分かります。
この段階でKの最小値はy=-2x+Kでx=0、y=0としてK=0が得られ
ます。
次にKの最大値を求めるにはy=-3x+9とy=-(1/2)x+4の交点の
座標が必要なので、連立方程式をといてxとyを求めます。
-3x+9=-(1/2)x+4からx=2、これをy=-3x+9に代入してy=3
が得られ、点(2,3)が2本の直線y=-3x+9とy=-(1/2)x+4の交点
の座標になります。
そこでこの値をy=-2x+Kに代入してK=y+2x=3+2*2=7となり、
Kの最大値7が得られます。
以上から、2x+yの最大値および最小値は７及び０となります。
