問題の解き方を教えてください。

質問

x, yが４つの不等式
x≧0, y≧0, 3x+y≦9, x+2y≦8を満たすとき、
2x+yの最大値および最小値を求めよ。

という問題のとき方を教えてください。
数学がニガテなのでわがままなお願いですが、分かりやすい回答を
お願いします。

回答No.3

おみみ こみみ（@dreamhope-ok）

x, y　が４つの不等式

　　x≧0　,　 y≧0,　　　　 3x+y≦9　,　　　 x+2y≦8　　を満たすとき、

　　2x+y　の最大値　および　最小値を求めよ。

　　不等式が四つあるけど、x≧0　,　y≧0　はむしろ問題を易しくしてくれています。

　　ｘ、ｙ　ともに　0　と　正の数という大前提です。

　　3x+y≦9　　と　 x+2y≦8　それぞれ　何を表しているか？

　　ｙ　について変形するとそれぞれ、

　　　ｙ≦-3ｘ+9（傾き－３　切片9）　ｙ≦-0.5ｘ+8（傾き-0.5　切片8）

　　これは、傾きがマイナスで右下がりの直線とその下の部分を示しているわけです。

　　グラフを書いてみましょう。なれればイメージもできるので、、、、、、、

　　そうすると変な四角形ができると思いますが、そこが4つの不等式が表わす範囲になります。

　　問題自体に対する回答は、今回は自重させていただきます。

　　不等式の意味するものを少しでも理解していただければと思い投稿させていただきました。

回答No.2

yyssaa

直角に交わるx軸(横軸)、y軸(縦軸)を描き、交点を原点O(0,0)
とします。
x≧0, y≧0なので、考える範囲は第一象限(右上の1/4の部分)
であり、x軸上y軸上を含みます・・・・・(ア)。
次に3x+y≦9の範囲を知るために、y=-3x+9の直線を描きます。
点(0,9)と点(3,0)を結ぶ直線です。そして3x+y≦9の範囲は
この直線の下側です(直線上も含みます)・・・・・(イ)。
以上(ア)と(イ)から、考える範囲はここまででx軸とy軸と直線
y=-3x+9に囲まれた三角形の内部(各直線上を含む)になります。
次に最後の条件x+2y≦8の範囲を知るためにy=-(1/2)x+4の
直線を描きます。点(0,4)と点(8,0)を結ぶ直線です。そして
x+2y≦8の範囲はこの直線の下側です(直線上も含みます)・・(ウ)。
(ア)(イ)から得られた三角形の内部の(ウ)の範囲(台形のつぶれた
ような形の内部と境界線上)が最終的に考える範囲、すなわち
「x≧0, y≧0, 3x+y≦9, x+2y≦8を満たす」xとyの範囲に
なります。
そして問題は、この範囲の中のxとyで出来る2x+yの最大値および
最小値を求めるので、まず2x+y=Kとして、このKの最大値および
最小値を求めます。2x+y=Kは書き直すとy=-2x+Kとなり直線を
表します。そしてKの値はx=0のときのyの値、すなわち、この
直線がy軸を横切る点のy座標の値です。この直線の傾斜は-2で
一定ですから、上で求めたxとyの範囲(台形のつぶれたような
形の内部と境界線上)から外れないように直線を上下に動かして
みて、どの位置でKが最大になり、最小になるか見定めます。
そうすると、この直線y=-2x+Kが、先に描いた2本の直線
y=-3x+9とy=-(1/2)x+4の交点を通るときにKが最大となり、
原点O(0,0)を通るときにKが最小になることが分かります。
この段階でKの最小値はy=-2x+Kでx=0、y=0としてK=0が得られ
ます。
次にKの最大値を求めるにはy=-3x+9とy=-(1/2)x+4の交点の
座標が必要なので、連立方程式をといてxとyを求めます。
-3x+9=-(1/2)x+4からx=2、これをy=-3x+9に代入してy=3
が得られ、点(2,3)が2本の直線y=-3x+9とy=-(1/2)x+4の交点
の座標になります。
そこでこの値をy=-2x+Kに代入してK=y+2x=3+2*2=7となり、
Kの最大値7が得られます。
以上から、2x+yの最大値および最小値は７及び０となります。

回答No.1

taaaaakunn

４つの不等式をグラフに書いて
2x+y=kとおいて
kの最大値、最小値を求めればよい。

y=-2x+kだから
傾きが-2　切片k
切片kの最大、最小をグラフより求める