数学の問題です。

質問

実数x,yがx2＋xy＋y2＝x+y
をみたしているとき
u＝x2+y2の最大値とそれを与えるx,yを求めなさい。

分からないので教えてください。
2はすべて二乗ということです。

回答No.3

info22_

x^2＋xy＋y^2 =x+y ...(1)
x=rcos(t),y=rsin(t) (0<=t<=2π, r>=0) ...(2)とおき
(1)に代入
r^2 {1+cos(t)sin(t)}=r{cos(t)+sin(t)}
r=0のとき
　x=y=0,u=0 ...(3)
r>0のとき
　r={cos(t)+sin(t)}/{1+cos(t)sin(t)}　(0<=t<=2π)...(4)
ここで分母は 1+cos(t)sin(t)=1+(1/2)sin(2t)>0
u=x^2+y^2=r^2 ...(5)なので、uが最大となるときは(4)のrが最大のときである。
(4)から
　dr/dt=cos(t)sin(t){sin(t)-cos(t)}/{1+cos(t)sin(t)}^2
dr/dt=0 (0<=t<=2π) で極値をとる。
dr/dt=0 (0<=t<=2π) を解くと
　cos(t)=0,sin(t)=0,sin(t)=cos(t)
　t=π/2, 3π/2, 0, π, π/4, 5π/4
各tに対する(4)式のrの値を求めると
　(t,r)=(π/2,1), (3π/2,-1), (0,1), (π,-1), (π/4,2√2/3), (5π/4,-2√2/3)

最大値は極大値の中の最大の値であるから
　t=0,π/2のとき　rの最大の極大値は1をとるのでrの最大値は1
　このとき、(2)より　(x,y)=(1,0),(0,1)。(5)より　uの最大値=1　...(6)

(3),(6)より
　u が最大（最大値=1）となる x,yは
　x=1,y=0　または　x=0,y=1
　である。

回答No.2

spring135

x+y=p
xy=q

とおく。

条件

x2＋xy＋y2＝x+y

をp,qで表すと

p^2-q=p

すなわち

q=p^2-p (1)

uをp,qで表すと

u=x^2+y^2=P^2-2q

(1)を用いて

u=2p-p^2=1-(1-p)^2

p=1のとき最大値u=1をとる。このとき(1)よりq=0 (2)

よって

x+y=1

xy=0

のとき、すなわちx=1,y=0またはx=0,y=1

のとき、uは最大値1をとる。

とすらすらと解けました。しかしこれでは採点者によっては減点されます。

理由はx,yに実数条件を考慮したかということです。

x,yを解とする２次方程式

t^2-pt+q=0

が実数解をもつ条件と同じです。

つまり

D=p^2-4q≧0

が条件として考慮されなければなりません。

つまり

q≦p^2/4 (3)

(2)よりuが最大値をとるときp=1,q=0

これは(3)を満たすのでＯＫということです。

この問題では(x,y)=(1,0)または（0,1）という実数解が実際に出ているので

(3)の確認は不要のように思えますが一般論としては必要です。

回答No.1

yyssaa

x^2+xy+y^2=(x+y)^2-xy=x+yからxy=(x+y)^2-(x+y)
u=x^2+y^2=(x+y)^2-2xy=(x+y)^2-2{(x+y)^2-(x+y)}
=(x+y)^2-2(x+y)^2+2(x+y)=-(x+y)^2+2(x+y)
x+y=zとおくとu=-z^2+2z=-(z^2-2z)=-(z-1)^2+1
z=1でuは最大値1となる。
x+y=1からy=1-xをx2＋xy＋y2＝x+yに代入して
x^2+x(1-x)+(1-x)^2=1からx(x-1)=0
よってx=0又はx=1その時yはy=1又はy=0
以上から
u＝x2+y2の最大値は1・・・・・・・・答え
それを与えるx,yは1,0又は0,1・・・・答え