積分に対する疑問

質問

(1)e^(-x)sinx
でｘに無限を入れたとき0としていいんでしたっけ？sinでもcosでもいいんでしたよね？
(2)∫1/{((x^2)+1)^(n/2)}dx
(3)∫x^(n/2)/(x(1-x))^(1/2)dx
(2)を解くうえで、x=tanθとおきました。すると∫cosθ^(n-2)dθで行き詰ってしまいました。
（3）を解く上でx^(1/2)=tとおきましたが、どうにもなりませんでした。

回答No.1

nakaizu · ベストアンサー

(1)それでいいですが、自信が無かったらきちんと極限を求めた方が良いと思います。
(2)、(3)
部分積分して漸化式を作るしかないように思います。
前の問題でもそうですが、こういった漸化式は解けるようなものではなく、nが具体的に与えられていれば小さい方から代入して求めていくといったものです。
一般のnに対しても強引に代入していくと級数の形の解にはなりますが、簡単な式にはなりません。

ひょっとすると定積分をを求める為に不定積分をしていませんか?
定積分は不定積分よりも簡単に求められることがあります。
たとえば(3)の不定積分はものすごく複雑ですが、区間[0,1]で定積分すると
nが偶数の時は
(n-1)!!/n!!π
nが奇数の時は
2(n-1)!!/n!!
と簡単になります。n!!は二つおきの階乗で
n!!=n×(n-2)×(n-4)×…
で最後はnが偶数か奇数かによって2か1で終ります。
特定の数値を代入すると漸化式が簡単になるからです。

お礼

（３）ガンマ関数ではありません。違う問題見てました。すいません。さて０から１で積分するわけですが、０と１は特異点なのでlimを遣う必要があると思うのですがどうでしょう

補足

２はできましたが、これは公式としてあるんですね。さっき教科書を見て知りました。3に関してですが、０から∞までです。でよくよく見るとこれはガンマ関数ですよね。どうやって解くんでしょう？もうちょっと考えてみる事にします。