円運動に移行する動作について

質問

テニス好きの会社員です。
遠心力に関連して答えに辿り着けず苦慮していることがあり、
何か答えの切欠でも得られないかとこちらへの書き込みを思い立ちました。
お手数かも知れませんがどうかどうか宜しくお願い致します。
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テニスに限らずスポーツで尊重される遠心力。
遠心力はご存知のとおり慣性力であり遠心力を得たから力を得た
という訳ではありませんが、遠心力による張力の効果など、実は
実戦でもっと見直されるべき利点が沢山ある様に思っています。

以下の質問内容も遠心力の利用に関連したもので、脱力した後に
スイングしてボールを打つ場合の効率の良い動作を発見するのに
役立つのではないかと思っています。
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＜質問内容＞

摩擦力の無い平面上で、質量Ｍの錘が付いた長さＬのヒモを
力Ｆで常に引き続けることができると仮定します。
また、ヒモを引く部分の軌道は半径Ｒの円周上に沿って円運動
（但し等速ではない）をすることとします。

この時、錘が、ヒモを引く円軌道の中心に対して回転半径を
徐々に広げていき、最終的に回転半径がＲ＋Ｌになる動作を
したとして、その錘の動作過程を示す時間をパラメータにした
座標を知りたいと思っております。（また、先の動作にならない
条件があれば、合わせて知りたいと思っております）
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回答としては、直接計算式をご教示頂けるとありがたいですが、
既存の答えがあれば、リンク先をご教示頂くだけでも構いません。

個人的に計算してみたところ、３次の微分方程式を累乗する様な
式になってしまい、簡単に解けると軽く見ていただけに愕然として
しまいました。またここ数日ネットや本屋で類似した問題について
調べているのですが、簡単な様で実は難解なのか未だ発見できて
いません・・・。

回答No.2

superkamecha

こんばんは。
ちょっと”うろ覚え”の直感的回答で申し訳ないですが、
この問題、純粋に「ヒモ」である場合、これはたしか「発散系」だったと思います。

つまり、錘がRから適当な距離を保ったまま定常的に回転するということが、人為的に微妙なコントロールをしない限り、”あり得ない”ハズです。
錘を増速しようとして、Rの回転を加速すれば、錘はRに向かって（ヒモが弛むことなく）”吸い付くように落下”し、R表面上で加速。
この状態から、錘をRから外に出すためには、Rの回転を少し下げる必要がありますが、少し下げたとたんに錘は離れだして、そこで回転数をキープしても、錘は外へ出続け、ヒモが伸びきるまで外へ出る。
そういうものだったと思います。
（浮沈子が水中で静止しないのと同様だったと・・）
ちょっと”あやふや”で、間違っているかもしれませんが、参考までに。

お礼

ご回答ありがとうございます。
この問題と格闘中に二重振子は発散系であることを
知りましたが、同時に興味深いことを知りました。

つまり、
試験的に扇風機の羽の根元に固めのヒモを付けて
扇風機を回転させると、最終的にヒモが扇風機の
軸から放射状に広がって回るのです。
考えてみれば、手持ち型の扇風機の電源を入れると
回転により折り畳まれた羽が開くのと似ているかも
知れません。

お話のとおり、初期条件により上手く回転しない
ことは想像に難くないですが、上手く回転する理由
を明らかにすることにより役立つことは多い様な
気がしています。

回答No.1

yokkun831

題意があっているかどうか心配ですが…

図のようにおいて、角度θとφを変数にとります。質点の位置は、

x = R cosθ + L cosφ
y = R sinθ + L sinφ

運動方程式は、

mx'' = -F cosφ
my'' = -F sinφ

※「''」は時間による２階微分

となりますので、θとφの連立２階微分方程式が得られます。

解析的には解けませんが、数値積分ならば解くことが可能でしょう。

お礼

ご回答ありがとうございます。
φとθの連立方程式に加え、φ(t)またはθ(t)の
三角関数の微分方程式ということで数値積分
（近似の利用）ということでしょうか。
まだまだ自分にはハードルが高そうですが、
好きなテニスの為になんとか答えを導きたいです。