静止衛星の軌道半径

質問

物理の問題です

静止衛星での軌道半径を計算したら天体の半径Rよりも小さくなったする この場合どういう状況になっているか、天体表面の重力と遠心力を比較することで議論せよ

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

ちょっと面白そうなので、計算してみました。

軌道角速度ωは、天体表面より上では、

天体の半径 = R, 天体の中心からの距離 r, 天体の重さ M とすると

rω^2 = GM/r^2 だから ω = √(GM/r^3)

天体の内部では M を (r/R)^3・M に置き換えればよいので
#天体の密度は均一を仮定

ω = √(GM/R^3)

天体内では、軌道角速度が一定になっちゃいますね。すると、天体内部
の軌道面上が全部静止軌道か、軌道面上に静止軌道が存在しないということになりそうです。

つまり、後者なら、天体内部の軌道面上の全ての点で遠心力が重力を上回ることになります。

他の点は重力と遠心力の向きが異なるので未考察です。

回答No.3

noname#212313

#2です。

　先の回答で全部と思われてしまうかもしれないと気がつき、補足します。あれで考察は終わりません。

　まず簡単な事実を提示しておきます。どうしてそうなるかを計算するのは、大学物理のレベルになりますが、「地球の中心に向かって穴を掘り進むと、穴の底での重力はどう変わるか」ということです。

　結論を申せば、「穴の底での重力は、穴の底から地球中心までの半径の星と同じ重力になる」ということです。自分より上の部分は無いのと同じであるわけです。

　お示しの問題において、星の地表は静止軌道より外側なのでした。その星で中心に向かって穴を掘り進んだとき、果たして重力が遠心力を上回るのか。それ次第で、星全体が崩壊するか、あるいは、表面から下の一定部分だけが不安定で、それより下は安定して存在できるのか。

　以上、例えばですが、考察できること、すべきことはいろいろ出てきます。万が一、先の回答だけを結論とすると「考察が足りん」と一蹴されてしまうかもしれませんので、念のため申し上げました。

回答No.2

noname#212313

赤道部分だけ考えてみましょう。

　地球での静止衛星は静止衛星軌道を回っていて、もちろん軌道は地球の外にありますね（軌道半径が地球半径より大きい）。地球を一周する周期は24時間。遠心力と重力がちょうど釣り合っています。

　同じ周期（24時間）で、静止軌道より内側（下側）にあれば、遠心力より重力、地表へと落下してきます（正確には、軌道を下げることで速度が増し、地表まで落下せずに、どこかで安定することもある）。同じく静止軌道より上側（外側）にあれば、遠心力が重力を上回り、地球を飛び出すか、少なくとも高度を上げます。

　静止軌道の半径を薄くて質量が無視できる球殻（中空ボール）で覆ったと考えてみます。球殻の自転は地球と同じく24時間周期とします。球殻の赤道部分では無重力です。静止軌道衛星と同じに公転していますからね。

　仮に球殻に高層ビルを建てたとすると、高層ビル上層では遠心力が重力を上回ります。上へ向かって引かれるわけですから、そこでは天井を床とすることになります。窓から見上げると地球が下にあるように見えるわけです。窓から飛び降りれば、地球とは反対側へ落ちて行くということにもなります。

　しかし、球殻の高緯度地域では状況が異なります。赤道から高緯度へ行くにつれ、回転半径が小さくなり、それにより遠心力も小さくなります。極端な場合を考えると、北極と南極です。そこでは遠心力はありません。高層ビルがある緯度により、最上階で上（地球と反対側）に引かれるか、下（地球側）に引かれるかが違ってくるわけです。

　それが「静止衛星での軌道半径を計算したら天体の半径Rよりも小さ」いという状況です。天体が頑丈でない限り、少なくとも赤道部分は形を保てないでしょうね。もし保てたとすると、遠心力が重力を上回るために地表に立とうとしても浮いてしまいます。それは、地表（）に立っている人）が第1宇宙速度を超えているという状況でもあります。

回答No.1

Tacosan

問題はわかった.

で質問はなに? まさか「コピーすればレポートとして提出できるような回答」を求めてるわけじゃないよね?