大学の数学について（代数学）

質問

1,2,3,4,5,6,7,8,9の９個の数字を適当に並べて、その間の適当な箇所に＋を入れた式をつくる。その和はちょうど１００にならない、これを証明せよ。

という問題の解き方が分かりません、証明方法を教えてください。よろしくお願いします。

回答No.2

MagicianKuma

1から9までの数字から3つ選んで3桁の数値をつくると必ず100を超えます。なので、求める答えがあると仮定すると、各項はたかだか2桁である。
2桁の項がｋ個あるとして、AkBk (0≦ｋ≦5)で表すとします。また1桁の項をCj (0≦j≦m=9-2k)とします。 全体の和S=C1+C2+・・・+Cm+A1B1+A2B2+・・・+AkBk
2桁の項AiBiを変形すると、AiBi=10Ai+Bi=9Ai+Ai+Biとなる。その他の2桁の項も同様な変更を行うと、
S=(C1+C2+・・・+Cm+A1+B1+A2+B2+・・・+Ak+Bk)+(9A1+9A2+9A3+・・・+9Ak)　を得る。
Ak,Bk,およびCjの定義から1から9の数値はAk,Bk,Cjのいずれかであり、和の前半(C1+C2+・・・+Cm+A1+B1+A2+B2+・・・+Ak+Bk)は1+2+3+・・・+9と等しい。
なので、S=45+(9A1+9A2+9A3+・・・+9Ak)=9(5+A1+A2+A3+・・・+Ak)となり、Sは9の倍数となる。よって100となることはない。
No1さんが端的に言っていることをちょい説明させていただきました。

お礼

遅くなりましたが、ありがとうざいました。

回答No.1

アウストラロ ピテクス（@ngkdddjkk）

2桁にした場合、もとの足し算(45)＋9の倍数となるため。

お礼

ありがとうございました