ポテンシャルの問題です

質問

(問)
ばね定数ｋのばねに質量ｍのおもりが吊り下げられて静止している。
ばねが自然長にある状態を基準とするポテンシャルエネルギー,ばねの弾性力のポテンシャルを求めよ

とき方と答えを教えてください！お願いします

回答No.4

中村 拓男（@tknakamuri）

No.1 です。

ポテンシャルを使って解くなら、運動エネルギーが散逸して、
全ポテンシャルの極小点に、つまりポテンシャルの底に錘が落ち着くという考え方で
計算できると思います。

U＝kh^2/2－mgh(全ポテンシャル = ばねと重力のポテンシャルの和)

dU/dh = kh-mg = 0 ⇒ 極小点 h = mg/k

このとき全ポテンシャル U = -(mg)^2/(2k) これがポテンシャルの底値で
弾性エネルギー=kh^2/2=(mg)^2/(2k)

回答No.3

noname#175206

#1です。まだご質問が開いている、間に合ったようです。

　すみません、間違えました。バネを一定の力mgで引き延ばしたわけがないだろうっ！＞自分orz

　#2 tknakamuri様のご回答通り、力の釣合を使うべきでした。

　kh＝mg　∴h＝mg/k

　U＝(1/2)kh^2＝(mg)^2/k

　tknakamuri様のご回答通りで、私の#1は間違いです。

　もともとミスが多いですが、ここのところミス率が増加中です。ちょっと禁酒とかします(^^;。

　tknakamuri様のご教示に感謝し、質問者様にはお詫びします。

　毎度毎度、申し訳ありません。

P.S.

　お詫びがてら。バネと重りの系全体ですと、ポテンシャルエネルギーUは、以下のようになります。

　U＝kh^2/2－mgh＝k(mg/k)^2/2－mg(mg/k)＝(mg)^2/2k－(mg)^2/k
　＝-(mg)^2/k

　こうせねばいけませんでした。重りの位置エネルギーが一定の力F＝mgと距離hの積（幾何学的には長方形の面積）なのに対し、バネはF＝khで直線的に増えて行く力なので、距離hとの積の半分（幾何学的には三角形の面積）。

　それを計算すると全体ではマイナス。重力による位置エネルギーに対し、バネの弾性エネルギーが足りないからこそ、持ち上がらずに静止するのでした。

　これを0と置いたのが間違いでした。自分で「手が受け取ったエネルギー」と書いておきながら……。それが系全体で不足する、つまりマイナスになる原因なのに。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

ばねののびを h とすると、 kh = mg なので h = mg/k

弾性エネルギー = (1/2)kh^2 = (mg)^2/(2k)

回答No.1

noname#175206

題意がちょっと分かりにくいんですが、以下のようなことかもしれません。

　バネの自然長の位置を基準にして、重りにより、そこからhだけ下がったとします。

　これは、ポテンシャルエネルギー（位置エネルギー）U1として、U1＝-mghです。上向きを正と考えて、負にしてあります。これが重りが「失った」位置エネルギーです。
　きちんと求めるなら、力F1＝mgを移動距離hで定積分します。

　U1＝∫[0→h]mgdx＝-mgh

　バネの自然長からの変位がxのとき、力F2＝kxとなります。バネのポテンシャル関数は、実はバネに溜まる弾性エネルギーU2です。これも、力を距離xで定積分すれば求まります。

　U2＝∫[0→h]kxdx＝(1/2)kh^2

　これがバネのポテンシャル関数、つまり弾性エネルギーです。ちなみにxの2乗になっているので、伸びても縮んでも正になります。

　バネと重りの為した仕事以外にエネルギーが加わっていないとすれば、力学的エネルギー保存の法則により、これが位置エネルギー-mghの為した仕事とバネの得た男性エネルギーの和が0になります。

　U1＋U2＝0　∴-mgh＋(1/2)kh^2＝0　∴(1/2)kh＝mg　∴h＝2mg/k

　したがって、バネのポテンシャル関数、つまり弾性エネルギーをhを用いずに表すなら、

　(1/2)kh^2＝(1/2)k(2mg/k)^2＝2(mg)^2/k

のようになるということでしょう。

P.S.

　普通は、自然長から重りを放せば単振動します。このときの力学的エネルギー保存の法則は、重りの位置エネルギー、重りの運動エネルギー、バネの弾性エネルギーの三つの和が0となります。

　お示しの「静止」ということは、充分に時間が経って、バネの内部摩擦抵抗や空気抵抗に伴い（これで運動エネルギーがロスする）、単振動に伴う運動エネルギーが失われた。
　もしくは手でゆっくり重りを下げたことにより、運動エネルギーとなるべき分が、手で支えられた重りが移動したため、運動エネルギーとなる分が手によって吸収された。
　といったように考えておくところかと思います。