力学の微小振動に関する問題

質問

添付写真の図5.7のような系が、滑らかな床の上で静止している。
左側の物体を静止の状態を保って右側の物体にV0の速度を与えた。

とあります。この時、
重心の速度Vと振動の振幅Aはどのように表わされるのでしょうか。

どなたかヒントになりそうなことでも、解答をよろしくお願いいたします。

回答No.1

sanori

こんにちは。

ばねが伸びきっている瞬間も、ばねが縮みきっている瞬間も、ｍ１とｍ２の運動量の合計は同じです。

ですから、まず、重心の速度をＶとした運動量の式は、ばねが伸びきっている場合（＝初期）を考えればよいので、
ｍ１Ｖo　＋　ｍ２×０　＝　（ｍ１＋ｍ２）Ｖ
よって、
Ｖ　＝　ｍ１Ｖo／（ｍ１＋ｍ２）

次に、ばねが縮みきった瞬間の速度をＶ１と置くと、
Ｖ１は、運動量を保存したままｍ１とｍ２が合体して進む速度と同じなので、

（ｍ１＋ｍ２）Ｖ１　＝　ｍ１Ｖo　＝　（ｍ１＋ｍ２）Ｖ
つまり、
Ｖ１　＝　Ｖ
です。
このときの運動エネルギーは、
１／２・（ｍ１＋ｍ２）Ｖ^2

一方、初期（伸びきったとき）の運動エネルギーは、
１／２・ｍ１・Ｖo^2

これらの差分が、縮みきったときにばねにたまったエネルギーと同一なので、
最大縮み（＝振幅の２倍）をｘmaxと置くと、
１／２・ｍ１・Ｖo^2　－　１／２・（ｍ１＋ｍ２）Ｖ^2　＝　１／２・ｋｘ^2
ｘmax^2　＝　｛ｍ１・Ｖo^2　－　（ｍ１＋ｍ２）Ｖ^2｝／ｋ
ｘmax　＝　√［｛ｍ１・Ｖo^2　－　（ｍ１＋ｍ２）Ｖ^2｝／ｋ］
振幅　＝　ｘmax／２　＝　１／２・√［｛ｍ１・Ｖo^2　－　（ｍ１＋ｍ２）Ｖ^2｝／ｋ］

自信はありませんが、一応回答してみました。

お礼

ご丁寧にありがとうございます。
検討して見ます。