難解な連立方程式

質問

どなたか次のx,y,X,Yについての連立方程式を解いてください。

a=x-e(xX+yY)X　　　　　　　　　（１）
b=y-e(xX+yY)Y　　　　　　　　　（２）
c=x-f(xX+yY+gx+hy)(X+g)　　　　（３）
d=y-f(xX+yY+gx+hy)(Y+h)　　　　（４）

（a,b,c,d,e,f,g,hは定数）

かなり時間をかけて解こうとしたのですが、難しくて断念してしまいました。そもそも、この方程式が解けるのかどうかも分かりません。４つの未知数に対して、４つの方程式があるので、多分解けるとは思うのですが…そこら辺のことについてもアドバイスいただければと思います。
　よろしくお願いいたします。

回答No.3

tomtom_ · ベストアンサー

これ，相当難しいですよ．ラージXやYについて3次だか4次の項が出ますから，ただの連立方程式じゃなくて，4元3次か4次方程式になりませんか？

Mathematica 5だと答えを出すことができなかったので，練習問題のレベルじゃなくて研究のレベルだと思います．だとすると，分野によりますが近似値を計算するのが現実的だと思います．
もし工学じゃなく数学の分野なら，変数変換して解くのが良いと思うのでその旨補足頂けると良いかと．

補足

回答ありがとうございます。
私は工学部の学生です。質問の問題は私の研究においてでてきた問題です。
近似計算や変数変換などの方法というのが、具体的にどういうものなのかが分からないので、教えてください。

回答No.5

noname#9783

このように考えてはいかがでしょうか？

まず、「ｘ、ｙ、Ｘ，Ｙの値は一つに定まるか」について考えます。

これは「一つに定まる」か「一つには定まらない」のどちらかのはずです。

「考え１」
準備として、（１）と（２）を次のように式変形してください。
（１）’　e(xX+yY)=(a-x)/X
（２）’　e(xX+yY)=(b-x)/Y

そして、これらを”ｘとＸの積ｘＸ”と　”ｙとＹの積ｙＹ”についての二元連立方程式だと思ってください。
そうすると、係数が全ておなじｂと言う値なので一意な解は持たないと考えるべきだと思われます。

「考え２」
次に、「ｘ、Ｘ、ｙ、Ｙの各々は一意な解を持つ→ｘＸとｙＹは一意な解を持つ」が正しいならば、その対偶
「ｘＸ、ｙＹの各々は一意な解を持たない→ｘ、Ｘ、ｙ、Ｙは一意な解を持たない」も正しいと考えてみてください。

考え１と２を組み合わせると、ｘ、Ｘ，ｙ、Ｙは一つに決まらない、と考えたほうがいいと思います。

善後策にしかならないと思いますが、（１）’と（２）’から

(a-x)/X=(b-y)/Y

が求められます。そしてtをパラメーターとして使っていいなら

x=-Xt+a
y=-yt+b

と書けます。

これらを（３）（４）に代入すれば、Ｘ、Ｙについての三次連立方程式が得られます。
三次方程式には解の公式がありますので計算し、適切なものが求まったとしたら答えにならないでしょうか。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.4

Ideasforlife

式を眺めているだけなので、解けたわけではありませんが...
(1)と(2)は、y軸に関して対称な点に移動させてから、XとYで決まる角度だけ回転させてるような式ですね？
gとhの意味がしっくり来ないのですが、観測点が移動した量だけはわかっていて、そこで観測したら (c,d)だったみたいなことでしょうか？そして、２点の観測から、観測系を表現する行列の要素と対象の位置を求めたい．そんな問題に見えますが、どうでしょう？

もし、やってみるとしたら、アフィン変換を使って書き下してみて考えるとか、XとYをr*cosθ, r*sinθとおいて考えてみるとか、そんなところが思い浮かびますが、果たして解けるのかどうか．．．

あとは、(1)(2)式で、この変換の固有値を求めて、X^2+Y^2=r~2 として、x yを r の式で表して、(3)(4)を睨みつけてみたらどうかな？とか...

あんまりアドバイスにもなっていませんが、もしよろしければ元の問題を教えてもらえませんか？

補足

>２点の観測から、観測系を表現する行列の要素と対象の位置を求めたい．そんな問題に見えますが

まさにその通りです。私がやりたいことは、具体的にはよく知られている磁界の式（１）を解くことです。

H=-1/4πμor^3[m-3/r^2(m・r)r]　　（１）

ここで、未知ベクトルはmとrです。簡単化のため、この問題を２次元で考えます。したがって、未知数はm,rのx,y成分の４つです。（１）式をx,y成分に分解すると２つの式になるので、４つの未知数に対して２つの方程式があることになります。４つの未知数を求めるためには、４つの方程式が必要です。そこで、観測点をもう一つ増やして、ベクトル方程式（x,y成分に分解して２つの式）を１つ得ます。あとは、得られた４つの方程式（１）～（４）を解けばいいことになります。しかし、これを解くのが難しかったので、質問をしたといった感じです。

回答No.2

kansai_daisuki

>４つの未知数に対して、４つの方程式があるので、多分解けるとは思うのですが…

ですね。解けるはずですね。

>a=x-e(xX+yY)X　　　　　　　　　（１）
>b=y-e(xX+yY)Y　　　　　　　　　（２）
>c=x-f(xX+yY+gx+hy)(X+g)　　　　（３）
>d=y-f(xX+yY+gx+hy)(Y+h)　　　　（４）

(1)より、
a=x-e(xX+yY)X
⇔a=x-exX^2-eyYX
⇔eyYX+a=x-exX^2
⇔eyYX+a=x(1-eX^2)
⇔x=(eyYX+a)/(1-eX^2)
(ただし、X^2≠1/e)

これを、(2),(3),(4)に代入して、xを消す。

これ以降は、この繰り返しで、
元を１つずつ消していき、
解を出せばよいと思います。

お礼

回答ありがとうございました。

回答No.1

kameDK

解けないと思いますよ。
通常ｎ個の未知数に対してｎ＋１個の式が必要です。
何かの問題集に載っていた問題なんでしょうか？

補足

回答ありがとうございます
私は、工学部で静磁エネルギーに関する研究をしているものです。質問の連立方程式は、その研究においてでてきた問題です。