直和分解とは？ 同値関係、同値類

質問

同値関係というのはなんとか分るのですが、同値類、直和分解というのがなかなか理解できません。
それぞれどういったつながりがあるのですしょうか？
ある同値関係を自分でつくり、それが直和分解になっていることを示しなさいという問題に行き詰っています。
回答よろしくお願いします<m(__)m>

回答No.3

kabaokaba · ベストアンサー

>「a-bは偶数」は(a,b)=(奇数,奇数)、(偶数,偶数)ということなんですよね？

あってるというか・・・
やっぱり「関係」という考え方が理解できてない感じですよ．
「a-bは偶数」という同値関係
（同値関係であることを証明できますか？）で
「関係がある」（同値である）ものを一個にまとめるんです．
それが「同値類」です．
＃同値の三つの条件がないと，このようにうまくは分解できません．

今の例では，「自然数だけ」を相手にしてるとして
何かの数 a と「関係がある」（同値である）ものは
aが偶数のときは，「偶数」
aが奇数のときは，「奇数」です．
すなわち，例えば
1と同値なものの集合は{1,3,5,7,9,...}，奇数全体の集合
2と同値なものの集合は{2,4,6,8,10,...}，偶数全体の集合
これらが，「a-bは偶数」という同値関係での「同値類」であり，
これによって自然数の集合の直和分解
{1,3,5,7,9,...}∪{2,4,6,8,10,...}
が構築されます．

「同値関係」というもので「関係がある」ものに全部ひもをつけて
ひもでつながっているものを「一個」のものとみなす
というイメージで，そのそれぞれの「一個のもの」が「同値類」，
その同値類を全部集めたものが数学用語では「類別」、
類別されたものを合併させたのが「直和分解」かな
「a-bは偶数」の例では
{1,3,5,7,9,...}，{2,4,6,8,10,...}：それぞれ同値類
{ {1,3,5,7,9,...}，{2,4,6,8,10,...}}：類別
{1,3,5,7,9,...}∪{2,4,6,8,10,...}：直和分解
です．

逆に直和分解が与えられれば
二つものa,bが関係があるということを
a,bが同じ「分解の各要素」にあると定義することで
同値関係が定義できます．

お礼

ようやく理解できました、おそらく(笑)
何度も質問に回答していただき、ありがとうございました<m(__)m>

回答No.2

kabaokaba

んーー・・本当に「関係」とかわかってるのかな
前の質問と同じく情報代数の話でしょ？
そーいう前提条件を外すと意味が不明になるんだけどなぁ・・

>同値関係というのはなんとか分るのですが、同値類、直和分解というのがなかなか理解できません。

多分，分かってないと思うな．
まず「直和分解」ってのは文脈に応じて
定義が違うものなんだ．
だから「前提」がはっきりしていないとよくわからん
ここで「集合Aの直和分解」ってのは
A=A1∪A2∪・・・UAn∪・・・， Ai∩Aj=φ（i≠j）
という形にわけることでしょう？
＃たとえば線形代数のベクトル空間の直和分解は
＃(本質的にはほとんど同じだけども)こういう定義ではない．

それから「関係」のうち，
推移・反射・対称が成立するものが「同値関係」
同値関係が定めれば「同値類」が定義でき，
同値類が定義できれば「直和分解」が定義できる．
逆に「直和分解」が定義できれば「同値関係」が定義できる
（もちろん，同値類も定義できる）．
このことがきちんと証明できますか？
極めて簡単かつ基本です．
＃しかし議論に癖があるので習熟は必要．

同値関係っての「等しい」の一般化だから
自明な例は「等しい」ということ
例えば，
自然数a,bに対して，同値関係～を
a～b は a=b であることと定めれば
N={1}∪{2}∪・・・U{n}∪・・・
が直和分解だし，{1}などが「同値類」
もういっこ例を，ヒントだけ．
自然数a,bに対して，関係～を
a～b は 「a-bは偶数」であると定めるとどうなりますか？

このあたりの話題は，数学科でやるような数学のうち，
一番，初心者がはまる「集合論」そのものだから
分からなかったら，きちんと先生に聞きましょう．

お礼

自分で色々調べたんですけど、いまいちピンとこないんですよね…
「a-bは偶数」は(a,b)=(奇数,奇数)、(偶数,偶数)ということなんですよね？
先生に今度聞いてしっかりと理解しようと思います。ただ宿題提出があるのでここで色々質問してしまいました。
再度回答していただいきありがとうございました<m(__)m>

回答No.1

Tacosan

つながり自体はその問題そのものなんだけど....
厳密には「任意の同値関係に対し, それによる同値類にわけると直和分解になる」という問題かな.
もっというと「同値関係が与えられれば同値類による直和分解が決まるし, 直和分解が与えられればそれにより同値関係が定まる」という意味で, 同値関係と直和分解は同じものなんだけど.
同値類とか直和分解は調べること.

お礼

回答ありがとうございます。
色々調べてみます