0と i との大きさを比較できないことの証明

質問

0と　i　との大きさを比較できないことを証明せよ、という問題を聞きました。

どうやら

i＞0
i＜0
i＝0

を否定する方針らしいです。

どのようにしたらよいでしょうか。

教えてください。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

複素数体が順序体になるように全順序を定義することはできない
…ということを証明したいのであれば、その方針でよいと思います。
順序体の諸公理を使って、i>0 からでも、i<0 からでも、
ここまでの回答のように「-1>0 となって矛盾」が導けます。
しかし、具体的な 0 と i の比較という話だと、ちょっと微妙
なところがあります。そもそも定義し得ない複素数の順序を使って
0 と i の大小がどうなるかを論じることに意味があるのかどうか…
その辺の話のスジが不明瞭になるからです。
背理法を使うときは、何が背理法の仮定なのかを見え易くするように
配慮するべきだと思います。

お礼

そうですよね。何か違和感を感じていたのが晴れました。

問題じたいがナンセンスなのでしょうかね。

ありがとうございました。

回答No.2

noname2727

｜i｜=1なのでi=0はありえない。
i=0とすると、左辺＝０≠１＝右辺となって矛盾
i > 0とする.
i・i > 0・i となるが、この左辺は-１で右辺は０となって矛盾。
i < 0のとき
i・i ＞ 0・i　となるが、この左辺は-１で右辺は０となって矛盾。

だと思います。

お礼

実際的な回答ありがとうございました。

回答No.1

notnot

i=0が違うのは明らか。不等号の場合は、
・両辺に同じ正の数を掛けても不等号の向きは変わらない
・両辺に同じ負の数を掛けると不等号の無機が逆転する
と、
i^2=-1　　(i^2はiの2乗のこと)
-1<0
を使います。