超関数について

質問

今、超関数について調べています。参考書等を見ても良く解りません。超関数の定義、特徴、性質を教えてください。また超関数に関して解りやすいHPがあれば教えてください。お願いします。漠然とした質問すいません。

回答No.1

KENZOU

超関数とは、空間に属する関数の集合{φi}を考え、その中の関数φi(x)に対して関数値Ｔ[φi]を割り当てる操作であると考えられます。汎関数ですね。超関数の定義式ですが、(-∞,∞)で定義された関数f(x)に対して
　Ｔf[φ]＝∫[-∞,∞]f(x)φ(x)dx　　　(1)
で超関数Ｔfが定義されます。φ(x)が決まればＴf[φ]の値が決まり、また線形性の条件も満たすことが分かります（線形汎関数）。尚、超関数Ｔfを関数と同じ記号f(x)で表すこともあります。くどいようですが、超関数f(x)の作用を(1)をベースに再度考えてみますと、普通の関数φ(x)と組になって積分式の中に入り込み、ある重要な作用を行う関数であるという点ですね。この点を具体的にディラックのδ関数で確認しておくと
　ψ(τ)＝∫[-∞,∞]ψ(t)δ(t－τ)dt＝ψ(τ)　(2)
となりますが、δ関数δ(t－τ)はψ(t)からt＝τにおけるψ(t)の値ψ(τ)を抜き出す作用をしていることが分かりますね。
超関数の特長として何回でも微分可能というのがあります。あと、δ関数の色々な特長はテキストに載っていると思いますので（δ関数で検索すれば色々でてくると思います）省略します。