せん断弾性係数の導きについて

質問

ひずみの座標変換を用いずにせん断弾性係数G=E/2(1+ν)を導く方法を探しています。

モール円より2τxy=σ2-σ1となることから(σ1,σ2：主応力度)

τxy=E/2(1+ν)・(ε2-ε1)

となることまでは導けたので

ε2-ε1=γxy

となれば完了となるのですが、ここで行き詰っています。
上式は座標変換を用いれば証明可能かとは思いますが、
座標変換を用いずに簡潔に説明できればと思っています。
どなたかご存知の方、宜しくお願いいたします。

回答No.1

noname#221368 · ベストアンサー

結局、歪みや応力の座標変換，モールの応力円の計算と実質的に同じになりますが、添付図のように、純圧縮σの一様側圧を受ける、純引張σの組み合わせ応力を受ける、供試体を考えます。

　供試体の中に45°傾いた正方形要素（大きさ任意）を考えると、図に示したように要素は、せん断応力τ（σの合成応力）による純せん断状態になっています。τにより要素は、点線のように純せん断変形γを起こすはずです。しかしγは、側圧－σの直歪みと引張σのポアソン比分の影響の合計、εの結果でもあります。

　　　(1)γとεの関係を、幾何学的に求めます。

　　　(2)τとσの関係を、幾何学的に求めます。

　　　(3)γとεを、フックの法則（弾性コンプライアンス）から、τとσとνで表します。

　(3)→(2)→(1)と代入すれば、G=E/2(1+ν)が出るはずです。

お礼

できました！
γ=√2εですね！
三角関数の近似式を忘れておりました。。。

解答して頂きありがとうございました。
本当に助かりました。

補足

解答ありがとうございます。
(2),(3)は求められるのですが、(1)がわかりません。
補足を頂けると助かります。