微分と積分の順序交換について

質問

φ(x)をR上有界な一様連続関数とします。
この場合

d/dx∮(-∞~∞)φ(x)dx=∮(-∞~∞)dxd/dxφ(x)dx

とφの仮定からできるということなのですが、
なぜφの仮定から微分と積分の順序交換ができるのでしょうか？
テキスト等を見ましたがなかなか理解できずにいます。。。
どなたか詳しい解説をいただけないでしょうか。。

回答No.1

NemurinekoNya

http://okwave.jp/qa/q7424321.html
のNo.1の回答にもありますが、
∮はどういう意味なのでしょうか？
普通の積分∫とは違うのでしょうか？

それはそれとして、
d/dx∮(-∞~∞)φ(x)dx=∮(-∞~∞)dxd/dxφ(x)dx …(1)
の右辺「dxd/dxφ(x)dx」って明らかにおかしいですよね。
d/dx(φ(x))dxの意味だとしても、(1)は成立しない気が…
反例
　x < 0のとき　φ(x) = e^x
x ≧ 0 のとき φ(x) = e^(-x)
このφ(x)はR上で有界で一様連続
(1)の左辺は計算をするまでもなくゼロだけれど、右辺はゼロではないから。

質問の問題を間違えているような気がするのだけれど…