x^x=ax

質問

x^x=ax

ふと疑問に思ったのですが…計算と解答をお願いします。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

正の実数 x についての方程式 x^x=ax を解け
…という意味なら、解を初等的に表示する方法は無い。
ニュートン法でもやってみれば、近似値は探せるが。
数値計算に持ち込む前に、大雑把な解の存在範囲を
見積もっておこう。
方程式を (x-1)(log x) = log a と変形する。
y = (x-1)(log x) のグラフ概形を描いてみれば、
a > 1 の範囲で２個、
a = 1 のとき１個の解 x があり、
a < 0 では解が無いことが判る。
ニュートン法も、0 = f(x) = x^x - ax より
0 = f(x) = (x-1)(log x) - log a に対して
行ったほうが良さそうな気がする。
初期値を、x > 1 と x < 1 に 二通り用意して…

お礼

近似は出せるが、初等的に表示する方法はないんですね…
近似の勉強をします。ありがとうございました

回答No.2

Tacosan

これはただの数式だねぇ. 「計算」とか「解答」って, なんのこと?

回答No.1

stomachman

xが複素数のときx^xとは何か？ということを理解した上でないと始まりません。あんまり簡単な話じゃないですよ？この方程式を解く話以前に、方程式がそもそも何を意味しているのか、というところが簡単じゃないんです。

　たとえば、(-√2)^(-√2)は？　(√2)^(√2)は？　0^0は？　これらの例はxが実数ですが、答を出すには「xが複素数のときx^xがどうなるか」の知識が必要なんです。(√2)^(√2)ぐらい電卓叩けば答が出そうなもんですけれども、実はこの式は無限個の複素数から成る集合を意味している。（電卓はその無限個の中に唯一含まれている実数を答えているだけなのです。）さらに、0^0は数ですらありません。

　もしこのあたりの事情を既にご承知ならこの質問は出ないだろうと思うので、回答はこれらの説明から始めなくてはならんでしょう。なかなか複雑で結構な分量の話になり、書いても読んでもらえない気がするなあ。

お礼

なかなか難しい話なんですね！！
もう少し勉強して出直します…