効率的な求め方

質問

∫α-β(x-α)(x-β)dx
∫α-γ(x-α)(x-β)(x-γ)dx
∫α-β(x-α)(x-β)^2dx

という三つの積分の式があります。（三つの式に問題の関係性はありません。）
最初の式は何とか、展開してから値を求めることが出来ましたが、その後はx^3が出てくる上に量が多くなってきてしまい困っています。
やはり、展開しか方法がないのでしょうか？もうちょっと効率的なやり方があるのではないかと思い質問してみました。

回答No.5

waseda2003 · ベストアンサー

多項式の積分法は数学２の範囲なので，数学２の範囲でお答えします。（部分積分法による方法は，他の方にお任せします。）

この手の積分計算では，被積分関数は展開しないのがふつうです。数学２の微積分は（数学Ａの）「多項式」の応用という側面があることに注意です。効率的に計算するというより，習ったことを使いこなすという方が，表現としては適切でしょうか。
α，β，γは書きにくいので，a，b，cにさせて下さい。

(1)　∫[a→b] (x-a)(x-b)dx
=∫[a→b] (x-a)(x-a+a-b)dx
=∫[a→b] {(x-a)^2+(a-b)(x-a)}dx
= (1/3)*(b-a)^3+{(a-b)/2}*(b-a)^2
= (1/3-1/2)*(b-a)^3
= -(1/6)*(b-a)^3

(2)　∫[a→c] (x-a)(x-b)(x-c)dx
=∫[a→c] (x-a)(x-a+a-b)(x-a+a-c)dx
=∫[a→c] {(x-a)^3+(2a-b-c)*(x-a)^2+(a-b)(a-c)*(x-a)}dx
= (1/4)*(c-a)^4+{(2a-b-c)/3}*(c-a)^3
　　+{(a-b)(a-c)/2}*(c-a)^2
= (1/12)*(c-a)^3*{3(c-a)+4(2a-b-c)-6(a-b)}
= (1/12)*(2b-a-c)*(c-a)^3

(3)　∫[a→b] (x-a)(x-b)^2 dx
=∫[a→b] (x-b+b-a)(x-b)^2 dx
=∫[a→b] {(x-b)^3+(b-a)*(x-b)^2}dx
= -(1/4)(a-b)^4 -{(b-a)/3}*(a-b)^3
= (1/12)*(-3+4)*(b-a)^4
= (1/12)*(b-a)^4

回答No.4

ONEONE

あぁ。
α-β
って積分区間だったのでしょうかね？
不定積分だと思ってました。

回答No.3

keyguy

∫α-β(x-α)(x-β)dx とはどういう意味でしょうか?
∫(α-β・(x-α)・(x-β))・dxの不定積分なのか？
∫(α<x<β)・(x-α)・(x-β)・dxの定積分なのか？

回答No.2

keyguy

(1)
∫(α<x<β)・(x-α)・[(x-β)^2/2]'・dx
を部分積分で一気に
=(α-β)^3/6
(3)
∫(α<x<β)・(x-α)・[(x-β)^3/3]'・dx
を部分積分で一気に
=(α-β)^4/12
(2)
∫(α<x<γ)・(x-α)・(x-γ)・(x-γ+(γ-β)))・dx
=∫(α<x<γ)・(x-α)・(x-γ)^2・dx
＋(γ-β)・∫(α<x<γ)・(x-α)・(x-γ)・dx
=(α-γ)^4/12+(γ-β)・(α-γ)^3/6
=(α-γ)^3・((α-γ)+2・(γ-β))/12
=(α-γ)^3・(α+γ-2β)/12

回答No.1

ONEONE

部分積分でいかが？
α = a，β = b，γ = cとおきます。（αとか入力しにくくて・・・）

○∫a - b(x - a)(x - b)dx
＝ax - b{(x - a)^2(x - b)/2 - ∫ (x - a)^2/2 dx}
＝ax - b{(x - a)^2(x - b)/2 - (x - a)^3/6} ＋Ｃ

○∫a - c(x - a)(x - b)(x - c)dx
＝ax - c{(x - a)^2 (x - b)(x - c)/2 - ∫(x - a)^2(2x-b-c)/2 dx}

・∫(x - a)^2(2x-b-c)/2 dx = (x - a)^3(2x-b-c)/6 - ∫(x - a)^3/3 dx
　　　　　　　　　　　　　　　= (x - a)^3(2x-b-c)/6 - (x - a)^4/12

∴∫a - c(x - a)(x - b)(x - c)dx
= ax - c{(x - a)^2 (x - b)(x - c)/2 - (x - a)^3(2x-b-c)/6 - (x - a)^4/12} + C

○∫a - b(x - a)(x - b)^2dx
= ax - b{(x - b)^3(x - a)/3 - ∫(x - b)^3/3 dx}
= ax - b{(x - b)^3(x - a)/3 - (x - b)^4/12 } + C

Ｃはすべて定数
まとめてないけど。計算間違いしている可能性ありますので。