数列の複利計算?で・・・

質問

こんにちは。
新高２で再来年に大学受験をする予定です。
いま数Ｉ＋Ａの総復習のためにチャート解法ベスト
を解いていて、昨日一晩考えてもいまいち理解できなかったので質問させてください。

1000万円を年利率8%で借り、返済は1年後を第1回とし、
その後毎年等額ずつ支払い、10年間で返済を完了とする。
毎年支払う金額はいくらか。
ただし1.08^10を2.159とし100円未満を切り上げよ。

という問題で解答では
1回目のx円は10年後に 1.08^9x円
2回目のx円は10年後に 1.08^8x円
　・
　・
　・
10回目のx円は10年後に x円
↑の合計が1.08^10×10^7になればよい。
(1.08^9+1.08^8+…+1.08^1+1)x=1.08^10×10^7

この式が導き出せればあとは自分でも解けるのですが・・・。いったいどうしてこうなるのか・・・。
解答の端にヒントとして

「借りた1000万円の10年後の元利合計が
毎年の返済金を積み立てたと考えたときの
10年後の元利合計の総額に等しい」

と書いてあったのですが、この考え方が
よく理解できないんです。
逆にコレが分かれば分かると思うんですが・・・。
どうか分かる方、もう少し噛み砕いて説明していただけないでしょうか・・・?
ご指導いただけたら幸いです。
よろしくお願いします。

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

今、手元にある1000万円を年利８％で１年間預けると、１年後には利子がついて1080万円になります。
その1080万円を元手に1年間預けると、その1年後には1080万円の1.08倍になります。

つまり、「今の1000万円」＝「1年後の1000万円×1.08」＝「2年後の1000万円×1.08^2」＝…＝「ｎ年後の1000万円×1.08^n」の実質的な価値は等しいことになります。（年利８％の世界では）

さて、ここで問題の回答は10年後の「将来価値」を基準にして考えようとしていますが、ちょっと見方をかえて「現在価値」を考えてみましょう。

先ほどと同じですが、「ｎ年後の1000万円×1.08^n」と「1年後の1080万円」と「現在の1000万円」は実質的に同じ価値となるわけです。
逆に、「1年後の1000万円」を手に入れることは、「現在1000万円÷1.08」があれば、1年後には利子がついて元金の1.08倍になることで達成できます。
もう少し一般的に文字式で書くと、n年後のA円の現在価値は、「A÷1.08^n」と言えます。（これがわかればもうゴール寸前なのですが・・・）

そうすると、
1年後のｘ円＝現在のｘ÷1.08^1円
2年後のｘ円＝現在のｘ÷1.08^2円
　・
　・
　・
10年後のｘ円＝現在のｘ÷1.08^10円

これの合計が現在の1000万円

ということで、
x * (1/1.08 + 1/1.08^2 + … + 1/1.08^10) = 10^7

回答にある式は、この両辺に1.08^10をかけたものであり、両辺に1.08^10をかけるという意味は、まさに「現在の○○円」＝「10年後の○○円×1.08^10」の考えで、現在価値を10年後の将来価値に翻訳する作用を及ぼしているわけです。

蛇足ですが、ローンの返済額はもちろん、生命保険や年金の掛け金もこの考えですし、株価なんかもこんな（現在価値を用いた）考えで考えることもできるそうです。

お礼

！！！
10回ほど読み返して少し意味が分かってきました!
なんとなく、ものの考え方が見えて
いま頭の中パニクってますが・・・。
もうすこしがんばってみます。
ありがとうございました!

回答No.2

neue_reich

おそらく、問題の趣旨から言って以下の手順になると思います。

・まず、一回あたりの返済額をｘなどとしてしまう。
・一回目の返済で　１０００万＊利率（１．０８）－ｘ　を清算する。
・二回目の返済時には　一回目の残金＊利率－ｘ　が残る。

以下、１０回行えば、煩雑ながらも式が出てくるはずです。
で、１０回目の残金は０（返済完了）ですので、ｘの一次式になりますよね。

一回目は　10000000*1.08-x
二回目は　(10000000*1.08-x)*1.08-x
三回目は　(10000000*1.08^2-x*1.08-x)*1.08-x
…　となりますので、なんとなく解答の値が理解できるのでは？　と思います。

お礼

どうもです（＾＾
ここ数日ネットが出来なかったんですが、
今から試してみます。
ありがとうございました。

回答No.1

ta-nuki

1年後の元利合計は1.08×10^7円です。
1年後にx円返済した場合、2年後の元利合計は
1.08×(1.08×10^7-x) = 1.08^2×10^7-1.08x になり、
まったく返済しなかった場合の2年後の元利合計　1.08^2×10^7　から、
昨年払ったx円に同率の利子がついた金額 1.08x を引いたものになります。
同様に3年後は
1.08×{1.08×(1.08×10^7-x)-x} = 1.08^3×10^7 - 1.08^2x - 1.08x
となることから、どうやらn年目に返済したx円は、
10年目には1.08^(10-n)x円に相当するらしい、と目星がつくわけです。
いきなり「借りた1000万円の10年後の元利合計が
毎年の返済金を積み立てたと考えたときの
10年後の元利合計の総額に等しい」 と気づくものではありませんし、
それを暗記するものでもありません。

お礼

どうも、レス遅くなって申し訳ありません。
確かにいきなり気づくものではないですね。
できれば解答にそういう過程を書いておいて欲しいものです。
って自分のレベルが低いだけか・・・（汗
それではどうもありがとうございました。