等比数列の複利計算の問題です

質問

A円をある年の初めに借り、その年の終りから同額ずつn回で返済する。年利率をr（>0）とし、1年ごとの複利法とすると、毎回の返済金額は何円か？

宜しくお願いします

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

1年後A(1+r)
返済x円、残A(1+r)-x
2年後(A(1+r)-x)(1+r)=A(1+r)^2-x(1+r)
返済x円、残A(1+r)^2-x(1+r)-x
3年後(A(1+r)^2-x(1+r)-x)(1+r)=A(1+r)^3-x((1+r)^2+(1+r))
返済x円、残A(1+r)^3-x((1+r)^2+(1+r)+1)
n年後A(1+r)^n-x((1+r)^(n-1)+…+1)=A(1+r)^n-x{(1+r)^n-1}/r
返済x円、残A(1+r)^n-x{(1+r)^n-1}/r-x=0
A(1+r)^n-x[({(1+r)^n-1}/r)+1]=0
従って毎回の返済額xは
∴x=r(A(1+r)^n)/({(1+r)^n-1}+r)円

お礼

回答ありがとうございます。