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八十面体の各頂点座標の求め方と図の作成方法
- 八十面体の各頂点座標の求め方を教えてください。
- 正二十面体の座標を基に八十面体を作成する方法を教えてください。
- 八十面体の図の作成方法についても教えてください。
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http://www.sra.co.jp/people/aoki/Jun/Topics/TypicalHedron/ に書いてある通りに作ればいいのではないでしょうか？ 正二十面体からどうやって、頂点を新しく決めているかというと、隣り合う２頂点Ｐ,Ｑの中点をＭとして、半直線ＯＭと球の交点Ｍ'を頂点にしています。原理的にはこれを辺の数(30個)求めればいいわけです。 まず、Ｐ，Ｑの位置ベクトルをp(→),q(→)とします。(以下、"→"は省略) すると、ＰＱの中点Ｍの位置ベクトルは(p+q)/2です。 よって、 ＯＭ'(→)＝(ＯＭ'/ＯＭ)*ＯＭ(→)＝(p+q)/|p+q|・・・☆ となります。 ☆のようにすれば、隣り合う２頂点の座標から新しく頂点の座標を求められることが分かります。しかし、これを30通りやるのはかなり面倒だと思うので少し楽をしましょう。 http://www.cr.ie.u-ryukyu.ac.jp/~jahana/rphedron/ このサイトから、必要な座標を取り出します。 Ｋ(0,1,0) Ａ(r*cos0,1-h,r*sin0) Ｃ(r*cos72,1-h,r*sin72) Ｂ(r*cos36,-(1-h),r*sin36) r=2/√5,1-h=1/√5です。 ここから、☆でＰとＱから頂点を求めたように ＫとＡから求めた頂点をＳ(x,y,z)とすれば、 すると、対称性から ・点Ｓ'(ｘ',ｙ,z')も頂点になります。(y座標はＳと同じ) 但し、x',y'は x'+z'i=(x+zi){cos(72*k)+isin(72*k)},(k=0,1,2,3,4) を満たす実数。・・・● ・点Ｓ"(x",-y,z")も頂点になります。 但し、x",y"は x"+z"i=(x+zi){cos(72*k-36)+isin(72*k-36)},(k=0,1,2,3,4) を満たす実数。・・・◎ ここまでで合計10個の点の座標が求まりました。 ＫとＡから決めた点Ｓから10個の頂点を求めたように ＡとＣから決めた点Ｔから10個の頂点が決まります。 Ｔ(x,y,z)とおけば、●や◎と全く同じ形になります。 ＡとＢから決めた点Ｕについても同様です。 Ｕ(x,y,z)とおけば、●や◎と全く同じ形になります。 でも、y=0ですので、●や◎をひとつにまとめることができて、頂点は(x',0,z')となります。 但し、x',z'は x'+z'i=(x+zi){cos(36k)+isin(36k)},(k=0,1,・・・9) を満たす実数。 これで、30個すべての頂点が決まりました。 これに正二十面体の頂点の座標12個を加えれば42個全ての頂点の座標が求まりますね。 分からない点があれば、補足をください。
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- eatern27
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#1です。 一応、書いておきますが、#1の最初で、 ＞正二十面体からどうやって、頂点を新しく決めているかというと、隣り合う２頂点Ｐ,Ｑの中点をＭとして、半直線ＯＭと球の交点Ｍ'を頂点にしています。原理的にはこれを辺の数(30個)求めればいいわけです。 ここに、"半直線ＯＭと球の交点Ｍ'"とありますが、この"球"とは正二十面体に外接する円の事です。 ところで、頂点の座標を求めるだけじゃなくて、辺を書いたりするのでしょうか? もし辺を書く必要があるとしても、私には非常に面倒な方法しか思い浮かびませんので、他の方に任せることにします。
お礼
ご回答有難うございました！ 大変分かりやすい解説で、道が開けてきました。 辺ですが、全ての頂点が分かれば、描画できるので大丈夫です。 eatern27に出会えて本当に良かったです。（オーバーかも？）
補足
前回、回答頂いたのですが、下記の計算を http://www.cr.ie.u-ryukyu.ac.jp/~jahana/rphedron/ の頂点AとBを例にして、 ＯＭ'(→)＝(ＯＭ'/ＯＭ)*ＯＭ(→)＝(p+q)/|p+q| 計算して頂けないでしょうか。 よろしくお願いいたします。