エクセル：累積分布関数を求める場合

質問

エクセルを使って、次の事象を計算したいのですが、数式は合っていますでしょうか。
√Tを乗じて良いものか悩んでいます。

標準偏差5%で分散（正規分布）する無数の物体があります。左側に境界線があり、距離は２シグマ（10%）です。
物体は一か所に集中していましたが、（左右に）動き出しました。
物体が境界線を越えている割合が20%になるまでの時間を求めなさい。

=NORMDIST(-0.1,0,0.05,TRUE)*SQRT(T）　　Tは経過時間　T=19.32・・・

なにか不足している情報があれば、統計学初心者が考えるような前提を適宜おいていただけますでしょうか。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

物体の位置は、平均が0の正規分布に従い、その分散σ(T)は時間Tとともに増大する。
σ(0) = 0、σ(1) = 5%であることが分かっている。
（時間の単位が分からないので単位時間としています）
T = tのときの物体の位置をxとしたとき、
Pr(x < -10%) = 0.2
を満たすtを求めるということでしょうが、σ(T)を単純に時間に比例すると考えていいものかわからなかったので

> 時間がたつにつれどう広がっていくのかがよくわかりません

と書いたのです。

とりあえず、比例すると仮定すると
σ(T) = T/20
になるので、xをT=tのときの物体の位置、Prを括弧内の条件を満たす確率、Φを標準正規分布の分布関数とすると
Pr(x < -10%) = Pr(x/(t/20) < -10%/(t/20))
= Φ(-10%/(t/20))　= 0.2
標準正規分布の下側20%点の値は-0.8416212なので
-10%/(t/20)　= -0.8416212
これから
t = 20*10%/0.8416 = 2.376
となります。

お礼

実例をあげていただいたので、よくわかりました。
初学者にお付き合いいただきありがとうございました。
とても助かりました。

回答No.1

noname#227064

時間がたつにつれどう広がっていくのかがよくわかりませんが、そこにsqrt(T)をかけるのは間違いでしょう。
時間によっては割合が1を超えますよね。

お礼

>そこにsqrt(T)をかけるのは間違いでしょう
おお、確かにそうですね。
=NORMDIST(-0.1,0,0.05*SQRT(T),TRUE)なのでしょうか。

ただ、これでも、Tがとても大きいと50％になってしまいます。
50％だと、中心から元々2シグマ分の幅で左側に散らばっているはずの物体がないことになってしまいます。
考えられるのは、2シグマの幅は、時間の経過とともに広がっていく全体の散らばりの幅に比べて、無視できるほど小さくなったという理解であってますでしょうか。
時間経過の影響を表すために、標準偏差に√Tをかけること自体は、間違っていないので、この箇所しかないかなと思っています。

＞時間がたつにつれどう広がっていくのかがよくわかりませんが・・・
良く使う山形の正規分布図のイメージです。横軸が散らばり具合。縦軸が時間です。時間Tが経過したときに、正規分布図が完成し、さらに時間が経過するとどんどん山が大きくなる（横に広がっていく）イメージです。