二次関数のグラフで

質問

直線x＝-1とx＞0とx軸で区切り、右上から半時計回りにA～Dと名付けたとき(境界線は含まない)y＝x^2＋ax＋1(aは定数)のグラフがＡとＢを通り、ＣとＤは通らないaの範囲を求める問題なんですが、解説お願いします

分かりにくくてすみません…

回答No.5

FT56F001 · ベストアンサー

x<0の領域を，直線x＝-1と直線y=0で区切り，右上から反時計回りにA～Dと名付ける。すなわち
領域A: -1<x<0かつy>0
領域B: x<-1かつy>0
領域C: x<-1かつy<0
領域D: -1<x<かつy<0
とする。y＝x^2＋ax＋1(aは定数)のグラフがAとBを通り，CとDは通らないaの範囲を求めよ。

という問題ですね。
x^2+ax+1=0は，正の二実根なら持っても良い。a<=0
負の二実根を持ってはならない。a>0かつD=a^2-4<=0---から　0<a<2

すなわちa<2が答。

お礼

その通りです ありがとうございます！

補足

ただ答えを見ると2≧aなんです…なぜでしょうか？

回答No.9

dreamfighter

>>どうしてですか？xに0を代入しても1になるとは限らないんじゃ…

え？y＝x^2＋ax＋1　にx=0 を代入するとどうなりますか？y=1でしょ。つまりaの値にかかわらず、(0,1)は通るということです。

＞＞なぜこうなるのでしょうか？
0≧aまたは2≧a＞0が答えじゃないのですか？

もちろん0≧aまたは2≧a＞0と書いてもバツにはならない。でも数直線を書けば、「0≧aまたは2≧a＞0」が「2≧a」と同値であることは分かるでしょう。シンプルに描いた方がかっこいいし、分かりやすい。

お礼

なるほど わかりました！ありがとうございました

回答No.8

FT56F001

>ただ答えを見ると2≧aなんです…なぜでしょうか？
ごめんなさい。細かい吟味を怠ってました。
a=2のとき，x=-1でy=0となるものの，y≧0は成立します。領域C,Dはy<0であってy=0を含まないので，
答はa=2も含む　a≦2　でした。

お礼

なるほど！

回答No.7

dreamfighter

回答の補足。

先ほどの場合分け（２）で、頂点のy座標が０でもいいとしたのは、これらの領域は、境界線を含まないので、頂点がx＜0のx軸上にあっても、領域ＣＤを通ることにはならないからです。

お礼

わかりました！

回答No.6

dreamfighter

平方完成すると、y=(x+ (1/2)a)^2 +1 - (1/4)a^2です。軸の位置で場合分けをします。

（１）軸x=-(1/2)a　≧０、つまり、a≦0のとき。
(0,1)を必ず通る、下に凸の2次関数だから、領域ＡＢを通り、ＣＤを通ることはない。∴a≦0

（２）軸x=-(1/2)a　＜０、つまり、a＞0のとき。
頂点のy座標　1-(1/4)a^2≧０となればよいので、-2≦a≦2　。a＞0と合わせて、0＜a≦2

（１）（２）より、求めるaの範囲は、a≦0 または0＜a≦2であり、この2つはまとめることができるから、a≦2（答）

お礼

＞（１）軸x=-(1/2)a　≧０、つまり、a≦0のとき。
＞(0,1)を必ず通る

どうしてですか？xに0を代入しても1になるとは限らないんじゃ…

補足

また、

＞（１）（２）より、求めるaの範囲は、a≦0 または0＜a≦2であり、この2つはまとめることができるから、a≦2（答）

なぜこうなるのでしょうか？
0≧aまたは2≧a＞0が答えじゃないのですか？

回答No.4

mister_moonlight

この問題は、質問者の言う条件では　解答不能。
問題の条件に　xだけではなくて　yについての条件がないから。このままだと　yには上限も下限もない。
それなら、放物線は必ず領域：Ａ、Ｂを通るから不能問題になる。
xとyに条件があって(例えば、長方形が条件なら)それなら回答は可能。

自分勝手に問題を書いて、原文のままに問題を書かないから　こういうことになる。
これが一番始末に悪い例。

お礼

私も、y＞0ならどこに放物線があっても通るんじゃないかと考え、ここに質問させていただきました 無論、yに範囲はありません
説明不足なのは謝ります…すみません

回答No.3

naniwacchi

#2です。
やはり、#1さんと同じで A～Dが何を表しているのかが分からなくなってきました。>_<
A～Dは点ですか？線ですか？領域ですか？

これは解答を書くときにもよくあることですが、
「点A」や「線分AB」のように図形の種類を書かないことって結構多いですね。
問題文は原則きちんと書かれていると思います。

もとの問題文があれば、
それをそのまま載せてもらった方がよいかもしれません。

お礼

お礼にも書きましたが、領域です

回答No.2

naniwacchi

こんばんわ。
シンプルですけど、あまり見ないような領域ですね。
それと何か言葉足らずな気もします・・・。
一応、図に起こしてみました。合っていますか？

・まず、考えている放物線は下に凸です。

・次に、放物線は aの値に関わらず、ある定点を必ず通ります。

・いろんな放物線を考えてみると、嫌でも「領域AとB」は通ることは分かると思います。
あとは、「領域CとDは通らないこと」ですね。
頂点の位置がポイントでしょうか。
意外と答えは単純なように思います。

お礼

すみません、領域はx軸で区切る、つまり領域はx≧0の範囲にはないんです
あなた様が書いてくださった領域からy軸の右側を省くと私が言いたいグラフになります！

回答No.1

dreamfighter

ABCDってなんですか？？

お礼

わかりずらいですよね…領域の名前です