複素積分を使わずに解ける
複素関数の勉強をしていて、疑問に思ったことがあります。
次の定積分を求めよ、という問題です。
∫（from 0 to ∞）exp(-x^2) cos2bx dx (ｂは定数)
この問題は、複素平面上の長方形状の積分路に沿って積分して答えが出せたのですが、以下のようなやり方をしてみました。
まず、求める積分はｂの関数とみなせるので、Ｉ(ｂ)とおきます。
次にＩ(ｂ)をｂで微分します。被積分関数をｂで偏微分し、部分積分を使うと、
ｄＩ(ｂ)／ｄｂ ＝ －２ｂＩ(ｂ)
となります。これはｂの微分方程式になっているので、これを解くと、
Ｉ(ｂ) ＝ Ａexp(-b^2) （Ａは定数）
となります。元の式にｂ＝０を代入すれば、
Ｉ(０) ＝ sqrt(π)/2
となるので、
Ｉ(ｂ) ＝ sqrt(π)exp(-b^2)/2
という結果になります。
なんだか複素積分をするよりも簡単に答えが出せたのですが、このやり方でもよいのでしょうか。参考書にはこの方法が載っていなかったのですが。
お礼
回答ありがとうございました。解析接続ですね。少し勉強してみます。