複素積分を教えていただけないでしょうか

質問

次の積分の値を複素積分によって求めよ．
∫[0→∞]exp(mx)/1+exp(nx)dx
ただし，0 < m < n である.

この問題はどういうふうに解けか教えていただけないでしょうか。

回答No.2

Ae610 · ベストアンサー

ANo.1です。
補足拝見・・・！
・・・であれば(当方でも！)留数定理で何とかなる・・・！
結論を言うと、
∫(－∞→∞){exp(mx)/(1+exp(nx))}dx = (π/n)・cosec(mπ/n)
(・・・で余計な∫[0→1]{t^(m-1)/(1+t^n)}dtの分が消えてくれるので！)

∫(－∞→∞){exp(mx)/(1+exp(nx))}dx
f(z) = exp(mz)/(1+exp(nz)) (zは複素数)・・・とする
－R,R,R+2πi/n,－R+2πi/nを4頂点とする長方形領域Γで考える。(Rは実数)
z = x + iyとして
留数定理(・・・および補題)を使い・・・
∫[Γ]f(z)dz
=∫[-R→R]{exp(mx)/(1+exp(nx))}dx
+ i・∫[0→2π/n]{exp(m(R+yi))/(1+exp(n(R+yi)))}dy
+ ∫[R→-R]{exp(mx+2mπi/n)/(1+exp(nx+2πi))}dx
+ i・∫[2π/n→0]{exp(m(-R+yi))/(1+exp(n(-R+yi)))}dy
= 2πi・Res(f(z)；z=πi/n)
第2項目と4項目の複素積分は(0＜m＜nの条件があるので・・・)R→∞のとき→0となる。
第3項目の積分(の分母)はe^(2πi)=1であるから第1項目とまとめる事が出来る。
∴R→∞のとき
(1－exp(2mπi/n))∫(-∞→∞){exp(mx)/(1+exp(nx))}dx = 2πi・Res(f(z)；z=πi/n)
1－exp(2mπi/n) = 2i・exp(mπi/n)・sin(mπi/n)であるから補題によって留数を求めると、
(2i・exp(mπi/n)が約分出来て・・・！)
∫(－∞→∞){exp(mx)/(1+exp(nx))}dx = (π/n)・cosec(mπ/n)
・・・となる！

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留数を求める際、以下の事実を用いている！
補題)
F(z),G(z)がz=aで正則、G(z)がz=aで一位の零点(G'(z)≠0 ('は微分の意味))ならば
Res(F(z)/G(z)；z=a) = F(a)/G'(a)
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回答No.1

Ae610

確認だが・・・、
∫{exp(mx)/(1+exp(nx))}dx
の積分区間は(－∞→∞)ではなくて[0→∞)・・・なの？
・・・だとすると、複素関数を利用する方法だと可成り難しくなるような気がする・・！？
（留数定理で考えてみたが当方の手に余る！）
・・・ので、(狡いけど)既知の積分を利用する。

exp(x) = tとおくと
∫[0→∞]{exp(mx)/(1+exp(nx))}dx
= ∫[1→∞]{t^(m-1)/(1+t^n)}dt
= ∫[0→∞]{t^(m-1)/(1+t^n)}dt－∫[0→1]{t^(m-1)/(1+t^n)}dt
= (π/n)・cosec(mπ/n)－Σ[k=0～∞](－1)^k/(m+kn)

補足

すみません、自分が積分区間を間違った。
確かに、正しい積分区間は(－∞→∞)です。