複素積分がわかりません

質問

添付ファイルに書いてある複素積分の方法がわかりません。
答えが書いてあるのですが、計算過程を教えてください。
また、答えに誤りがあれば、正しい答えを教えてください。

回答No.2

ereserve67

表記になぞが多いので自信はありません．

a>0とします．d\vec{r}を体積積分要素とし，積分範囲は全空間(R→∞)とします．

被積分関数はrのみの関数ですから

dV=r^2dΩ（Ωは立体角）

とかけます．全立体角は4πですから，

4π∫_0^∞{e^{(-a+ib)r}/r}r^2dr=4π∫_0^∞re^{(-a+ib)r}dr

ここで

∫_0^∞r{e^{(-a+ib)r}/(-a+ib)}'dr=[r{e^{(-a+ib)r}/(-a+ib)}]_0^∞-∫_0^∞r'e^{(-a+ib)r}/(-a+ib)dr
=-∫_0^∞e^{(-a+ib)r}/(-a+ib)dr=-[e^{(-a+ib)r}/(-a+ib)^2]_0^∞=1/(-a+bi)^2

よって，

4π/(a-bi)^2

答えは実数になっていますが，もともとの積分の形も実数ではないし，これが正しい答えではないかと思うのですが．

お礼

回答ありがとうございます。
ただ、複素数があるので、解答の形とは異なると思いますが。
参考書に、こういった形での積分が書いてあったので、そのまま、表記しました。
じっくり、考えてみたいと思います。

回答No.1

noname#163178

積分の範囲が書かれていないようですが。

補足

本に書いてあったものをそのまま写しました。
おそらく、r空間を極座標で表したものだと思われます。
積分範囲は、0=<θ=<2π、0=<ψ=<π、0=<r=<Rだと思います。