目標預金のための月々の積立金の求め方

質問

目標預金を達成するための月々の積立金額を求めます。私の考え方で求めるとエクセル財務関数(PMT)の結果と一致しません。CashFlow表を作成して検証してみるとPMT関数の結果が正しいことがわかります。PMT関数を使用しない方法では目標貯蓄額にあうCashFlow表（金利と残高の受払表）をつくれません。私の考え方のどこに間違いがあるのか、どう補正すればよいのかご教示いただければ幸いです。
○問題
現在の貯蓄額 ￥500,000
目標の貯蓄額 ￥1,000,000
投資期間（年） 3
利率の種類　　　年利
利率 　　　　5.00%
複利計算の間隔 毎年
○私の考え方
1,000,000円からすでに預金されている500,000円の将来価値を差し引いた残金について月々の積立金（アニュイティ）を下記の手順で求める。
500,000×(1+5%/12)^(12*3)-1=580,736
1,000,000-580,736=419,264
419,264は毎月の積立金から得られる将来価値だからその現在価値を求めるため、
419,264÷［(1+5%/12)^(12*3)-1］/［5%/12］=10,819
10,819が月々の預け入れ額になる。

○PMT関数では、支払パラメーターを期首(1)にすると10,774が得られ、これを流列とする36ヶ月のCashFlow表をつくることができます。支払パラメーターを期末(0)にすると10,819が得られます。すでに預金500,000があるのでパラメーターは1が正しいと思います。また、10,819では毎月受払いを行うCashFlow表を1,000,000になるようにつくることができません。

回答No.1

xexstyle · ベストアンサー

> 419,264÷［(1+5%/12)^(12*3)-1］/［5%/12］=10,819

この式はどのようにして導き出されたのでしょうか？
おしいけど、ちょっと違いますね。
それは期末（月末）払いのときの式です。
期首（月初）払いのときの式は、次のようになります。

419,264÷［(1+5%/12)^(12*3)-1］/［5%/12］］ ÷ (1+5%/12) =10,774

期末払いのときの式を(1+5%/12)で割る必要があるわけです。

[期首払いの式の導出]
毎月Pだけ支払うとして、最初の月の初めに預けたPは、3年後にはP(1+5%/12)^(12*3)になります。
2ヶ月目の初めに預けたPは、最初から3年後にはP(1+5%/12)^(12*3-1)になります。
3ヶ月目の初めに預けたPは、最初から3年後にはP(1+5%/12)^(12*3-2)になります。
4ヶ月目の初めに預けたPは、最初から3年後にはP(1+5%/12)^(12*3-3)になります。
…
最後の月の初めに預けたPは、最後の月の終わりにはP(1+5%/12)になります。
三年後にはこれ全部を受け取れるわけですから、それをSとすると、
S=P(1+5%/12)^(12*3) + P(1+5%/12)^(12*3-1) + P(1+5%/12)^(12*3-2) + P(1+5%/12)^(12*3-3) +…+ P(1+5%/12)
この式の両辺に(1+5%/12)をかけると、
(1+5%/12)S=P(1+5%/12)^(12*3+1) + P(1+5%/12)^(12*3) + P(1+5%/12)^(12*3-1) + P(1+5%/12)^(12*3-2) +…+ P(1+5%/12)^2
下の式から、上の式を引くと、
(1+5%/12)S-S = P(1+5%/12)^(12*3+1)-P(1+5%/12)
5%/12×S = P(1+5%/12)×( (1+5%/12)^(12*3)-1 )
P = 5%/12×S ÷ (1+5%/12) ÷ ( (1+5%/12)^(12*3)-1 )
と、先に示した期首払い式と等しくなります。

[期末払いの式の導出]
毎月Pだけ支払うとして、最初の月の終わりに預けたPは、3年後にはP(1+5%/12)^(12*3-1)になります。
2ヶ月目の終わりに預けたPは、最初から3年後にはP(1+5%/12)^(12*3-2)になります。
3ヶ月目の終わりに預けたPは、最初から3年後にはP(1+5%/12)^(12*3-3)になります。
4ヶ月目の終わりに預けたPは、最初から3年後にはP(1+5%/12)^(12*3-4)になります。
…
最後の月の終わり預けたPは、最後の月の終わりにはPのままです。
三年後にはこれ全部を受け取れるわけですから、それをSとすると、
S=P(1+5%/12)^(12*3-1) + P(1+5%/12)^(12*3-2) + P(1+5%/12)^(12*3-3) + P(1+5%/12)^(12*3-4) +…+ P
この式の両辺に(1+5%/12)をかけると、
(1+5%/12)S=P(1+5%/12)^(12*3) + P(1+5%/12)^(12*3-1) + P(1+5%/12)^(12*3-2) + P(1+5%/12)^(12*3-3) +…+ P(1+5%/12)
下の式から、上の式を引くと、
(1+5%/12)S-S = P(1+5%/12)^(12*3)-P
5%/12×S = P×( (1+5%/12)^(12*3)-1 )
P = 5%/12×S ÷ ( (1+5%/12)^(12*3)-1 )
となります。

もっと単純に考えると、期首払いと期末払いとを比較すると、期首払いはひと月分だけ早く支払っており、その分、利息(5%/12)が多く付くわけですから、10,7749×(1+5%/12)＝10,819になります。

お礼

回答ありがとうございます。よく理解できます。
式の導きについても懇切丁寧な説明ありがとうございます。式展開を試してみましたが私も同じ方法で導いていました。
期首払いだとまるまるひと月分の金利が得られ、45円の得になり10,819-10749=45の結果と同じになることが確認できます。
現在の貯蓄50万円は期首払い、これから積み立てる分を期末払いと考えたところに間違いがあったようです。
しかし、両方とも期首払いと考えないといけないのだろうかと考えてしまいます。問題文からは期首払い、期末払いの区別ができないのですが、これから行う積立を期末払いと考えることは不自然でしょうか。この場合、どのように考えたら良いでしょうか。

回答No.2

xexstyle

質問者さんが、この定期積立はこれから始めるもので、最初に50万円預け入れ、その後、毎月定期的に定額を積み立てると考えるものであれば、初回の定期積立は50万円を預けてから一ヶ月後になり、PMT関数で計算するときも期末払いの指定になると思います。
ただ、ご提示の問題文を改めて読むと、「現在の貯蓄額￥500,000」となっており、これは最初に50万円預け入れするというのではなく、これまで貯蓄をしてきており、その貯蓄の元利合計が今、50万円になっていると考えます。
そうであるならば、最初の定期積立も、「今（＝期首）」からと考えることになると思います。

経理・会計系の試験の問題であれば、通常、支払いのタイミングについてちゃんと書かれている場合が多いのですが、パソコン関連の試験であればそのへんが省かれることが多いかもしれませんね。
あとは問題文を注意深く読んで、支払いのタイミングを推測するしかないと思います。

お礼

>そうであるならば、最初の定期積立も、「今（＝期首）」からと考えることになると思います。

なるほど問題文から推測するほかないのかもしれませんね。ありがとうございました。数学が軽い趣味でちょっと試してみようかと解いてみたのですが、なかなか面白い論点に出会いました。少し掘ってみようかと思います。
ありがとうございます。