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光は入ったところから出られるか？
冬は暗くて寒いので、部屋を鏡張りにして小さい窓から光を入れれば閉じこめられるのになあ。でもいつかその窓から出て行くんだろうなあ。 で、抽象化してみました。閉曲線上の１点から、内部の任意の向きに直線を延ばし、曲線にぶつかったら反射させ、と言う操作を繰り返し行ったら、いつかスタート地点に到達するのでしょうか？ またそうなるための条件は何でしょうか？ 曲面では？ また、そういう定理があったら教えてください。
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簡単のため閉曲線を円とします。 光は反射するごとに入射角θ°の２倍ずつ進行方向を変えて進む。 これは、頂角(180－２θ)°の二等辺三角形を重ねるのに等しい（下図（ａ）参照）。 「ｎ回反射して元の点に戻る」とは、(180－２θ)°のｎ倍が３６０°の倍数になること。 180－２θが整数なら、これと360の最小公倍数で元に戻る。 180－２θが有理数なら、これに適当な数を掛けて整数にすれば同じことが言える。 これに対し、無理数にいくら自然数を掛けても360の倍数どころか整数にすらならない。 だから、180－２θが無理数となる角度で光を発すればいい。 これには、θを例えば√２とか１０πとか３０ｅとかの無理数にして光を発する（角度の単位は度）。 曲面として球の内部を選ぶと、（ｂ）のように発射地点と最初の着地点と球の中心を含む大円内で光は反射を繰り返すことになるので、同じこと。 真円を作ることも、真球を作ることも、決められた角度で光を発射することも、現実には難しいけど論理的には「元の場所に戻らないように光を発射する」のは可能。
