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対角和 トレース
対角和について質問させて下さい。 対角和の性質として、 tr（AB）=tr（BA）・・・(1) tr（A）=tr（PAP^-1）・・・(2) という性質がありますが、(2)はどういうことを示すのでしょうか？ 行列Aと行列Aを対角化した対角和は等しいってことだと認識 しているのですが、どういった利点があるのでしょうか？ 以上、よろしくお願い致します。
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> なぜP^(-1)を改めてPとおけるのでしょうか？ Pが正則ならばPの逆行列も正則だから。
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> 上のサイトでは、P^（-1）APと記載されていました。 > PAP^（-1）とP^（-1）APは等しいという認識でOKでしょうか？ 何が聞きたいのかよくわからない・・・ (2)は tr（A）=tr（P^(-1)AP） と書いても同じ。 冗長な説明をすると、P^(-1)を改めてPと置けばいいから。 というようなことを聞きたかったのかしら？
お礼
ご回答ありがとうございました。
補足
ご回答ありがとうございます。 行列は交換法則が成り立たない場合があるので 等しくないのでは？と考えた次第です。 ＞P^(-1)を改めてPと置けばいいから なぜP^(-1)を改めてPとおけるのでしょうか？ お忙しいところ申し訳ありませんがご回答よろしくお願い致します。
> 対角化する事以外でPAP^（-1）はどのように利用されるのでしょうか？ traceが座標変換によって不変な量ということがわかります。 基底のとり方によらず、Aが定める一次変換に対して決まることを意味するので、これはとても重要なことです。 > また、Pは対角化によらず正則行列という認識でOKでしょうか？ P^(-1)の存在を前提としてますから、PはAと関係あってもなくてもいいですし正則行列です。
お礼
ご回答ありがとうございました。
補足
親切なご回答本当にありがとうございます。 ＞traceが座標変換によって不変な量ということがわかります。 理解できました。 相似変換（行列の座標変換に相当）を知りました。 http://ufcpp.net/study/linear/eigen.html のURLで勉強しました。 上のサイトでは、P^（-1）APと記載されていました。 PAP^（-1）とP^（-1）APは等しいという認識でOKでしょうか？ なぜ等しくなるのか教えて頂けるとありがたいです。 以上、年末のお忙しい時ではありますがご回答よろしくお願い 致します。
2番の補足の認識でOKです。
お礼
ご回答ありがとうございました。
補足
ご回答ありがとうございます。 理解しました。 何度も申し訳ありません。ありがとうございます。 最後に一点疑問に思う点があったので追加質問させて下さい。 PAP^(-1)は対角化の式と考えていました。 私の完全な思い込みでした。すいませんでした。 対角化できない場合でも tr（A）=tr（PAP^-1） が言えるということは、対角化する事以外でPAP^（-1）は どのように利用されるのでしょうか？ また、Pは対角化によらず正則行列という認識でOKでしょうか？ 以上、お手数をお掛けして申し訳ありませんがご回答よろしくお願い 致します。
補足についてですが、Aを任意、Pを可逆とすると、(1)より tr（PAP^(-1)） =tr(P^(-1)PA) （PAとP^(-1)を交換） =tr(EA) =tr(A) となります。（Eは単位行列）
お礼
ご回答ありがとうございました。
補足
ご回答ありがとうございます。 証明について理解できました。 Aを任意とは、任意の正方行列という認識で良いでしょうか？ 対角化可能であるとは、ある行列Aにおいて PAP^(-1)=Bが成り立つ。B:対角行列 なので、tr（A）=tr（PAP^-1）は言い換えると 上の例からtr（A）=tr（B）となると理解していました。 なので、 行列Aと行列Aを対角化した対角和は等しいと考えました。 PAP^(-1)が対角化できない場合でも、 つまり上の例にある対角行列Bが作れない場合でも tr（A）=tr（PAP^-1）は成り立つということですね？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
> 行列Aと行列Aを対角化した対角和は等しいってことだと認識しているのですが それは一つの例ではありますが、対角化のことだけを言っているのではありません。だって、Aが対角化できなかったらどうするんです？ traceが共役操作について不変というのは一つの認識です。
お礼
ご回答ありがとうございました。
補足
ご回答ありがとうございます。 ＞対角化のことだけを言っているのではありません。だって、Aが対角化できなか＞ったらどうするんです？ tr（A）=tr（PAP^-1）は対角化できる場合の行列Aについて述べているのでは ないのですか？ 対角化できなくてもtr（A）=tr（PAP^-1）が成り立つのですか？ 以上、ご回答よろしくお願い致します。
お礼
ご回答ありがとうございます。 理解できました。 本当にありがとうございました。 良いお年をm（_ _）m