積分法の応用

質問

m、nが正の定数のとき、定積分をm≠n、m＝nの場合に分けて求めよ。

∫【０→360°】sinｍＸ・sinｎＸｄｘ

アイディアが浮かびません。【】の中は積分区間です。360°は2パイのことです。記号が出ませんでした。よろしくお願いします。

回答No.2

ekitaigenzou · ベストアンサー

∫【０→360°】sinｍＸ・sinｎＸｄｘ

これは，フーリエ級数を求めるときに使う三角関数の直交性の証明の問題でしょうか．

積和の公式というのは下記だと思います．

cos(mx+nx) = cosmx*cosnx-sinmx*sinnx　　(cosの和を積和にする公式)
cos(mx-nx) =cosmx*cosnx+sinmx*sinnx
よって，下から上を引くと，
cos(mx-nx)-cos(mx+nx)=2sinmx*sinnx

したがって，
sinmx*sinnx=(1/2)*(cos(m-n)x-cos(m+n)x)

∫【０→360°】sinｍＸ・sinｎＸｄｘ = ∫【０→360°】(1/2)*(cos(m-n)x-cos(m+n)x)ｄｘ
(m≠nのとき)
= (1/2)*([1/(m-n)*sin(m-n)x]【0->2π】-[1/(m+n)*sin(m+n)x]【0->2π】)
= 0

sin(0)=0
sin(2mπ)=0 (mが整数のとき)

m=n のとき，
(sinmx)^2=(1-cos2mx)/2

なぜならば，cos2mx=(cosmx)^2-(sinmx)^2=1-2(sinmx)^2
(sinmx)^2=(1-cos2mx)/2

∫【０→360°】sinｍＸ・sinｎＸｄｘ = ∫【０→360°】(1-cos2mx)ｄｘ
= [x-(1/2m)sin2mx](0->2π)
=2π-(1/2m)*2π-(0-(1/2m)*0)
=2π

m,nを整数に仮定してしまいました．

題意の「m,nは正の定数」の場合は，どうなるのでしょうか．
ちょっと中途半端な定積分になりそうですが．

お礼

積和だったんですねーー。僕なんて３倍角までしかないし…で止まってしまいました。ありがとうございました。

回答No.4

ekitaigenzou

#2です．

#3様かかれているように，

m=nのとき，
∫【０→360°】sinｍＸ・sinｎＸｄｘ = π

ですね．1/2落としてました．
すみません．

回答No.3

Eiji57

∫【0→2π】sinｍＸ・sinｎＸｄｘ
＝1/2∫【0→2π】｛cos(m-n)x-cos(m+n)x｝dx

m≠nのとき
与式＝0（cos波を１周期積分すると0）

m＝nのとき
与式＝1/2∫【0→2π】cos0dx＝1/2∫【0→2π】1dx＝π

ではないでしょうか？

お礼

ありがとうございました。テスト頑張ります。

回答No.1

ONEONE

積和公式で和の形に直してからやればＯＫです。

お礼

ありがとうございました。テスト頑張ります。