体積が変化する場合の熱量について

質問

以下の条件のもとで浴槽にお湯を入れます。

・浴槽には、Ｘ℃のお湯が単位時間当たりAリットル注がれる
・外気の温度はＹ（＜Ｘ）℃である
・浴槽は一辺の長さがbの立方体の形をしている
・浴槽は断熱材でできているとし、浴槽の側面、底面からの熱の出入りはないものとする。
・外気と接している面からの熱の出入りはあるものとする
・外気とお湯の間の熱伝導率はαとする
・お湯が容器からあふれるまでを考える。
・お湯の蒸発は考えない。

以上の条件のもとで
時刻tにおいて浴槽のお湯が持つ熱量はどのように表せるでしょうか？
必要なら水の比熱や水の密度を用いてもらって構いません。

回答No.1

ShowMeHow · ベストアンサー

おら、途中まで考えたんだけど、数学よくわかんないんで？？？になっちゃった。
ま、ヒントくらいにはなるかもしれないから、とりあえず掲せておく。

・浴槽内のお湯の温度は均一である
・外気の温度は均一で一定である
という条件も必要ですが、
・水の温度による比重の変化は考慮しない
としたほうがらくだと思います。

まず、一般的な式をたてるとすると、
dT/dt = -a(T-Y)になるのかな。（Ｔ温度、ｔ時間）

aがどうなっているのかを考えると、
k・熱伝導率・表面積/体積
になるようなきがするから、
a=kαh, hは（kはとりあえずつけた任意定数）水深ってことになるかな。

それでもって、水深を時間の関数で表したものを突っ込んで、（ｈ（ｔ）は水が一杯になる時点で微分可能な関数ではないので）水がいっぱいになるまでのものとそれ以降のものを分けて考えて、微分方程式を解き、初期条件と、あといくつかの条件を突っ込めば答えの関数が求められるはず。

いっぱいになったあとは、一般的なものになるね。
T(t)=Ce^(-at)+T0

それ以前は、
ｈ(t)=At/b^2だから、
dT/dt = -(kαA/b^2)t(T-Y)になるけど結局のところ
dT/dt=-kt(T-Y)を解くのと一緒だけど、
このさきがよくわからん。

お礼

質問に答えてくれてありがとうございます。
ただ、一つ気になるところがあります。
aはhに反比例するのではないでしょうか？
面積を体積で割ったら、1/hになると思うのですが？

補足

aは水深に反比例するのではないでしょうか？
表面積/体積だと、1/hになると思うんですが？

回答No.2

ShowMeHow

>aはhに反比例するのではないでしょうか？
>面積を体積で割ったら、1/hになると思うのですが？

その通りでした。　失礼しました。
水深が深いほうが（水量があるほうが）、
水の温度の低下する速度は低くなりますので、
感覚的にもそちらのほうがすんなり着ますね。

ということで、最後の微分方程式は、
dT/dt=-(k/t)(T-Y)
になるのかな。

お礼

答えてくれてありがとうございます。
おかげでスッキリしました！！