１０^n から１を引いた数は９で割り切れることについて

質問

下記の過去質問における、私自身の回答（＃４と＃５）に関連した質問です。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa2100301.html

たとえば、

１０進法であれば、
「頭の桁が１で、その下がゼロばっかりの数」から１を引いた数は９で割り切れ、
１６進法であれば、
「頭の桁が１で、その下がゼロばっかりの数」から１を引いた数はＦで割り切れる、

ということについてです。

上記リンク中の自分の回答の文章で、
「ところが、１０^n から１を引くと、必ず９だけが並んだ自然数（ただし、ｎ＝ゼロのときだけはゼロ）になります。これは、必ず９で割り切れます。」
という部分についてなのですが、
なんか、ちゃんとした証明の文章になっていないです。

このことをエレガントに、できるだけ簡潔に、証明する方法はないものでしょうか。

回答No.2

noname#47894 · ベストアンサー

一つの方法は、
等比級数の形に持っていく方法ですが、

（１０^n －１）／（１０－１）＝１０^(n-1)＋１０^(n-2)＋....＋10^0
ですので、
１０^n －１＝９×｛１０^(n-1)＋１０^(n-2)＋....＋10^0｝
これで、右辺が９の倍数なので、左辺も９の倍数ですね？

もう一つの方法は
２項定理を使う方法で
１０＾ｎ＝（９＋１）^n　として展開すると、最後の項が＋１に、それ以外の項が９の倍数になるので、
１０＾ｎ－１は９の倍数になることが示せます。

展開計算は自分でやってみてください。

お礼

なるほど。
等比級数の和の公式が使えるということに、私は気づきませんでした。
素晴らしいです。
右辺の　１０^(n-1)＋１０^(n-2)＋....＋10^0　は、各桁に１だけが並んだ数である、ということも簡単に分かるのが良いですね。
ありがとうございました。

回答No.7

A-Tanaka

こんばんは。
高等学校時代に習ったかと思いますが、帰納法で証明すればよいだけのことです。

つまり、１の時は成り立つ。
kの時は成り立つと仮定して、k+1の時にも成り立つという証明方法です。

お礼

ありがとうございます。
ええ。まさにその帰納法を用いる証明も考えていたのですが、なかなか具体的手順が浮かびませんでした。

補足

皆様
おかげさまで、あっという間に解決できました。
多くのご回答をいただいたところ、大変申し訳ないですが、独断と偏見でポイント付与させていただきます。

回答No.6

Mr_Holland

＃３です。
　ごめんなさい。誤記がありました。次のように訂正させてください。

＞　　(m+1)^n－1
＞　＝[k=0→n]Σ n_C_k m^k －１
＞　＝( [k=1→n]Σ n_C_k m^k +1) －1
＞　＝[k=1→n]Σ n_C_k m^k
(誤)＝m×[k=0→(n-1)]Σ n_C_k m^k
(正)＝m×[k=0→(n-1)]Σ n_C_(k+1) m^k
＞　＝（ｍの倍数)

お礼

二項定理を用いた証明の具体的手順を教えていただき、理解できました。
ありがとうございました。

回答No.5

B-sun

まじめな方のようですね。
9を9で割ることが出来るのは自明なので9が並んだ数が9で割ることも自明だと思います。

もしくは
9だけが並んでいて9で割ることが出来ない自然数
または
10^n (n>=2 の自然数)から1を引くと、9だけが並んだ自然数ならないn
を考えて背理法で証明するのはいかがでしょうか

お礼

ありがとうございます。
ははは。真面目なような、真面目でないような・・・。
実は私も、いの一番にそのやり方を考えていたのですが、なかなかうまくいかなかったもので。

回答No.4

guchiyama

文章と同じことですが、
式で、
(10^n)-1=9*10^(n-1)+9*10^(n-2)+...+9*10^(n-n)
=9*(10^(n-1)+10^(n-2)+...+10^(n-n))
よって、(10^n)-1は、9で割り切れる。
とか書くと、それらしく数学的に見えます。
まあ、同じですが・・・
求めてる回答と違うかったら、ごめんなさい。

お礼

ありがとうございます。
結果的に、等比級数の和の公式を応用したのと同じになるんですね。

回答No.3

Mr_Holland

m,nを1以上の自然数として、(m+1)^n－1はmの倍数であることを示せばよろしいのではないでしょうか。
　以下に証明してみます。

　(m+1)^n－1
＝[k=0→n]Σ n_C_k m^k －１
＝( [k=1→n]Σ n_C_k m^k +1) －1
＝[k=1→n]Σ n_C_k m^k
＝m×[k=0→(n-1)]Σ n_C_k m^k
＝（ｍの倍数)

　いかがでしょうか？

回答No.1

noname#181872

いかなる自然数nにおいても10^n - 1が9で割り切れることを示せれば
いいということでしょうか？

10^n-1=(10-1)(10^n-1 + 10^n-2 + …　+ 1)
=9(10^n-1 + 10^n-2 + …　+ 1)
で後ろは111…1と1がn個並ぶ数になるというのではダメですか？

お礼

電光石火のご回答、ありがとうございます。