数学C（楕円）の問題を教えてください！

質問

問題↓↓

　　楕円上の点Pと短軸の両端を結ぶ直線が長軸またはその延長
　　と交わる2点をQ、Rとすると、OQ・ORは一定であることを示せ。
　　ただし、Oは楕円の中心とする。

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宿題で出た問題の1部なのですが、いまいちよく分かりませんでした・・・
できれば簡単な解説などがあると嬉しいですm(--)m

回答No.2

melgitos

原点を中心とする楕円の方程式はx軸方向の長さをa、y軸方向の長さをbとすると
x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1
となります。
なので楕円状の点Pのx座標をmとするとy座標は
b√(1-m^2/a^2)
です。（もしくはこれの負になります）
x軸方向を長軸とすると短軸の両端の座標は(0, b), (0, -b)なのでこれらと点Pを結ぶ２つの直線を求めます。
点Q,Rは長軸上にあるのでその座標はQ(c, 0), R(d, 0)ですが、これはさっき求めた２直線と長軸y=0の交点を求めればすぐに出ます。

題意を満たすにはOQ・ORに点Pが関係していない、つまりc*dが定数(mが含まれていない)であることを言えばいいです。
ちなみにこの場合c*dはa^2になります。

実際はy軸が長軸の場合や中心が原点でない場合も説明する必要がありますがそれは割愛します。

回答No.1

Tacosan

問題に書いてあることを順にやっていくだけです.

できたところまで書いてください.