相対速度の求め方

質問

ある慣性系から見て速度vaで移動している物体Aと速度vbで移動している物体Bがあるとき、物体Bの慣性系から見た物体Aの相対速度は、光の速度を無視できる場合なら、va-vbになると思いますが、光の速度が無視できない場合にはどうなりますか？
初歩的な質問ですみません。

回答No.5

中村 拓男（@tknakamuri） · ベストアンサー

No.2 です。すいません。ご指摘の通り、式を間違えました。
実は普段は幾何座標系を使っているので換算を
間違えてしまいました。

で、幾何座標を用いると(「時空の物理学」の流儀)

1) 時間の単位は sec(秒) のまま
2) 長さの単位は sec(秒) に換算する。
但し、30万km = 1sec
3) 速度の単位は長さ(sec)/時間(sec)=無名数。
つまり光速との比とすると

γ=1/√(1-(vb)^2)
Δt' = Δt(1/γ) - Δx・vb(1/γ)
Δx' = -Δt・vb(1/γ) + Δx(1/γ)

Δx= Δt・va とし Δx'/Δt'= va'
va' = (va-vb)/(1-va・vb))

と美しく解けます。ここで

Δx'　⇒ Δx'/c
Δx ⇒ Δx /c
va ⇒ va / c
vb ⇒ vb / c

と置き換えると、通常の単位系の式が得られます。

お礼

有難うございました。たいへんよくわかりました。助かりました。

回答No.4

noname#175206

一応、定性的にどうやっても光速度を超える物体というものがないことを、例示しておいた方がいいのかな。

　c'←観測者B　　観測者A→c'

　　　　　　観測者C

　観測者Cから見て、A, Bが反対方向に、ほぼほぼ光速に近い速度c'で離れ去るように飛んでいるとします。離れて行く速度は、当然、2c'で光速度の2倍弱です。

　じゃあ、Bから見たらAは超光速かどうか。観測者Bの立場になるので観測者Bは自分が静止と考えます（相対性で考えるのは、ここは基本）。
　ここに光速度不変の原則が出てきます。AがBから見た前方に向かって光を放ちます。

　観測者B　　観測者A―→⇒（光）

　光速度不変の原理を認めるなら、Aが放った光はBにとって、同じ光速度の秒速30万kmです。ちょいと観測者Aの立場に移れば、光は当然ですが、Aにとって光速度の秒速30万kmで自分から離れて行きます。

　再びBに戻れば、物理現象が観測者ごとで異なる、この場合はAが放った光がAより速いかどうかになるわけですが、これはAとBは定性的には同じことでないといけなくて、BからしてもAが放った光はAの進む方向にAより速く飛び去って行きます。

　その飛び去る光は、光速度不変の原理により、同じ光速度の秒速30万kmです。ならば、Aはそれより遅い速度でBから離れて行ってることになります。
　そうなれば、AはBからしても光速度未満の速度にならざるを得ません。

　そういうことを式で示してくれるのが、相対論的な速度の合成則（加法則）なんですね。

お礼

有難うございました。

回答No.3

noname#175206

要は、特殊相対論的な「速度の合成」ですね。その計算式の出し方は下記ページなどで。

http://space.geocities.jp/funasking/rel_add/index1.html

　計算式さえ飲み込めれば、「誰が観測者なのか？」をきちんと把握すれば、物体の速度のプラスマイナスどっちとか間違わずに、するすると計算できますよ。

お礼

有難うございました。リンク先は大変参考になりました。

回答No.2

中村 拓男（@tknakamuri）

No.1 の回答が正しいと思います。
ローレンツ変換で直接もとめると

γ=1/√(1-(vb/c)^2) とすると 物体 B の慣性系では
ローレンツ変換は

Δt' = Δt(1/γ) - Δx(vb/c)(1/γ)
Δx' = -Δt(vb/c)(1/γ) + Δx(1/γ)

Δx, Δt : ある慣性系での２事象間の位置の差と、時刻差
Δx', Δt': 物体Bの慣性系での２事象間の位置の差と、時刻差

なのでここで Δx= Δt・va とし Δx'/Δt'= va' より速度を
求めると

va' = (va-vb)/(1-(va/c)・(vb/c))

になります。これによれば、慣性系Bでは速度差が大きくなるようですね。

お礼

有難うございました。

補足

有難うございます。計算をしてみたら答えが合わないのですが、
もしかしてローレンツ変換の1/cの位置が違わないでしょうか？
第一項が
　Δt' = Δt(1/γ) - Δx(vb/c^2)(1/γ)
第二項は
　Δx' = -Δtvb(1/γ) + Δx(1/γ)
にならないでしょうか。

回答No.1

yokkun831

１次元でよろしいでしょうか？

求める相対速度をVabとします。
B系の速度Vbに対してVabを合成した速度がVaとなるべきですから，速度の合成則により

Va = ( Vb + Vab ) / ( 1 + VaVab/c^2 )
∴Vab = ( Va - Vb ) / ( 1 - VaVb/c^2 )

となります。結果を見ればわかるように，B系からみた静止系の速度 -Vb に対してA系の速度Vaを合成してもよかったわけです。

お礼

早速の御回答有難うございました。お礼が遅くなって申し訳ありません。助かりました。