カードを全種類引けない確率

質問

[１]～[５]の５枚のカードがあるとします。

よく混ぜたこの５枚のカードから1枚を引き、
その数字を記録してカードを戻し、
再びよく混ぜます。

この行為を１５回繰り返したとき、カードを５種類とも引けない確率は
どうやったら求められるでしょうか？
（例えば[１]、[３]、[４]、[５]は引いたが、[２]は一度も引かなかったなど）

完全に厳密な値でなくても、根拠があれば概算でもかまいません。
よろしくお願いします。

回答No.5

nag0720 · ベストアンサー

n種類のカードがあったとき、必ずn種類のカードを使って１５枚並べるときの並べかたの数をF(n)とすれば、

F(1)=1
F(2)=2^15-2C1*F(1)
F(3)=3^15-3C2*F(2)-3C1*F(1)
F(4)=4^15-4C3*F(3)-4C2*F(2)-4C1*F(1)
F(5)=5^15-5C4*F(4)-5C3*F(3)-5C2*F(2)-5C1*F(1)

求める確率は、
1-F(5)/5^15≒0.17123

お礼

なるほど、こんな解き方が！
ありがとうございました。

回答No.4

chie65536（@chie65535）

訂正。

カードが５種類あるので、×５しないと駄目でした。

なので17.8％くらいになります。

お礼

ご回答ありがとうございました。
が、残念ながらご回答いただいた方法では解は求まらないと思います。
（理由はNo.2の方への補足と同じです。）

回答No.3

chie65536（@chie65535）

以下の確率の合計です。

・「１５回とも[１]のみ」とか、特定の１種類しか出ない確率。1/5の15乗

・「１５回とも[１]か[２]のみとか、特定の２種類しか出ない確率。2/5の15乗

・「１５回とも[１]か[２]か[３]のみとか、特定の３種類しか出ない確率。3/5の15乗

・「１５回とも[５]以外とか、特定の４種類しか出ない確率。4/5の15乗

合計すると、だいたい3.56％くらいです。

補足

「4/5の15乗」は「[1]が出ない確率」を求めることは出来ますが
「[2]が出ない確率」「[3]が出ない確率」なども考えると、
「4/5の15乗」にはならないと思われます。
また、「[1]も[2]も出ない」事象があることを考えると、単純に
それを5倍するのも適切ではなさそうです。

ちなみに最後の「特定の４種類しか出ない確率」（4/5の15乗）の中には、
「特定の３種類しか出ない確率」も含まれているのではないでしょうか。

また３種類しか出ない確率は、
[1][2][3]
[1][2][4]
[1][2][5]
[1][3][4]
[1][3][5]
　　・
　　・
　　・
などの組み合わせ（5Ｃ3 通り）あるので、単純に3/5の15乗では
求められないのでは。

回答No.2

tsuyoshi2004

仮に、[５]のカードを１回も引かない確率は

（４／５）＾１５≒0.035184372088832
です。
実際には[１]～[５]までの５種類のどれかを引かない確率なので、
0.035184372088832×5=0.17592186044416
です。

お礼

ご回答ありがとうございました。
が、残念ながらご回答いただいた方法では解は求まらないと思います。
（理由は補足に書きました。）

補足

[５]のカードを１回も引かない確率は
（４／５）＾１５
というのは分かるのですが、

それを５倍してしまうと
「[４]と[５]のカードを１回も引かない事象」などが
二重にカウントされていませんか？

（[４]と[５]のカードを１回も引かない事象は、
　[４]のカードを１回も引かない事象であり、かつ
　[５]のカードを１回も引かない事象でもある）

あるいは、この「[４]と[５]のカードを１回も引かない事象」が
発生する確率は、無視できるほど小さいから問題ない、ということ
でしょうか。

回答No.1

noname#158634

で、ご自身はどこまで分かってるんですか？
めんどくさいし短いから全部書きますけど、(4/5)^15*5です。

必要ないと思うけど一応説明。
引かないカードを仮に１だとする。15回のうちの1回ごとに、引かない確率は4/5。だから(4/5)^15。
カードが5種類だから(4/5)^15*5。

http://www.google.co.jp/search?q=(4%2F5)%5E15*5&sourceid=ie7&rls=com.microsoft:en-US&ie=utf8&oe=utf8&rlz=1I7GGHP_ja&redir_esc=&ei=WyGdTpOGNYPFmAXhusSNCQ

お礼

ご回答ありがとうございました。
が、残念ながらご回答いただいた方法では解は求まらないと思います。
（理由はNo.2の方への補足と同じです。）